Beweis mit Teilmengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 So 22.10.2006 | | Autor: | LULU555 |
| Aufgabe | es sei f: X -> Y ein Abb zw Mengen,
Man zeige für Teilmengen M1, M2 [mm] \subset [/mm] X und N1, N2 [mm] \subset [/mm] Y :
a. f(M1 [mm] \cup [/mm] M2) = f(M1) [mm] \cup [/mm] f(M2)
b. f(M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \subset [/mm] f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2) hier sogar Gleichheit?
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ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Leider kann ich diese Aufgabe nicht lösen, kann mir jemand helfen?
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Hallo,
damit du auch noch ein bisschen Freude an der Aufgabe hast, zeige ich dir das mal an einem anderen Beispiel. Das ist ja bestimmt dein erster LinA-Zettel, da brauchst du doch ein paar eigene Erfolgserlebnisse. Also wir zeigen [mm] f^{-1}(N_{1}\cap N_{2})=f^{-1}(N_{1})\cap f^{-1}(N_{2}). [/mm] Diese Beweise gehen immer auf dieselbe Art und Weise. Bei Gleichheit musst du immer zwei Inklusionen zeigen. Wir schreiben hier aber einfach Äquivalenzpfeile und sparen uns zwei Beweise, weil es da wirklich nur auf die Richtung ankommt.
Beweis:
[mm] x\in f^{-1}(N_{1}\cap N_{2})
[/mm]
[mm] \gdw f(x)\in (N_{1}\cap N_{2})
[/mm]
[mm] \gdw f(x)\in N_{1}\wedge f(x)\in N_{2}
[/mm]
[mm] \gdw x\in f^{-1}(N_{1})\wedge x\in f^{-1}(N_{2})
[/mm]
[mm] \gdw x\in (f^{-1}(N_{1})\cap f^{-1}(N_{2}))
[/mm]
Das wars. Fragen dazu? 
Grüße, Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 So 22.10.2006 | | Autor: | LULU555 |
Danke,
diese Gleichung habe ich schon bewiesen, allerdings habe ich immernoch probleme mit meinen zwei gestellten und bin mir nicht sicher ob ich es richtig gemacht habe.
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Hallo,
na dann versuchen wir mal die zweite. Für die erste musst du dann mal deinen Vorschlag posten!
Für b sei [mm] y\in f(M_{1}\cap M_{2})\Rightarrow\exists x\in (M_{1}\cap M_{2}):f(x)=y, [/mm] also [mm] y=f(x)\in f(M_{1}) [/mm] und [mm] y=f(x)\in f(M_{2}). [/mm] Das bedeutet aber [mm] y\in (f(M_{1})\cap f(M_{2})). \Box
[/mm]
Klar soweit? Grüße, Daniel
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