Aber die Aufgabe hier müsste eigentlich stimmen, denn fast die Gleiche hatten wir mal auf dem Übungsblatt:
Berechnen Sie
[mm] \lim_{n\to\infty}\integral_0^1{(n^2\cos(x)+3nx)^{\bruch{1}{2n}}dx}.
[/mm]
Rechtfertigen Sie Ihre einzelnen Rechenschritte.
Ich betrachte zuerst die Klammer, es gilt:
[mm] n^2\cos(x)\le n^2
[/mm]
und
[mm] 3nx\le [/mm] 3n für [mm] x\in [/mm] [0,1]
Dann ist
[mm] |(n^2\cos(x)+3nx)^{\bruch{1}{2n}}|\le (n^2+3n)^\bruch{1}{2n})
[/mm]
wir haben also eine Lebesgue-Schranke und können somit den [mm] \lim [/mm] und das Integral vertauschen:
Jedenfalls fehlt mir noch ein bisschen was, was ich dazu erklären soll.
Also meine Funktion (also die Klammer mit der Potenz) geht doch gegen 1, oder? Die Majorante ist messbar (hoffe ich jedenfalls mal, aber warum?) und dann kann man schon einfach den Satz von Lebesgue anwenden. Oder habe ich da jetzt eine Voraussetzung vergessen?
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