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| Aufgabe | Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum. Beweisen Sie folgende Aussagen für alle $X,Y [mm] \subseteq [/mm] V$:
i) $span(span(X))=span(X)$
ii) Ist [mm] $x\in [/mm] span(X)$, so existiert eine endliche Teilmenge $X' [mm] \subseteq$ [/mm] so, dass $x [mm] \in [/mm] span(X')$
iii) Ist $x [mm] \in [/mm] span(X [mm] \cup \{ y\} [/mm] ) [mm] \backslash [/mm] span(X)$, so ist auch $y [mm] \in [/mm] span(X [mm] \cup [/mm] {x})$ |
Bei i) habe ich mir gedacht, dass ja eigentlich beides, span(span(X)) und span(X) kleinste Unterräume von V sein müssen, die X enthalten und somit ja nur gleich sein können, aber kann ich das irgendwie formaler machen?
Bei ii) und iii) fehlt mir leider völlig der Ansatz.
Bei iii) hab ich versucht das mal aufzuschreiben:
$ span(X [mm] \cup \{ y\} [/mm] ) [mm] \backslash [/mm] span(X) = [mm] \{\summe_{i=1}^{n} \alpha_{i} x_{i} + \alpha_{n+1}x | \alpha_{1},..., \alpha_{n+1} \in K, \alpha_{n+1} \not= 0 \} [/mm] $
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> Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum. Beweisen Sie
> folgende Aussagen für alle [mm]X,Y \subseteq V[/mm]:
> i)
> [mm]span(span(X))=span(X)[/mm]
> ii) Ist [mm]x\in span(X)[/mm], so existiert eine endliche Teilmenge
> [mm]X' \subseteq[/mm] so, dass [mm]x \in span(X')[/mm]
> iii) Ist [mm]x \in span(X \cup \{ y\} ) \backslash span(X)[/mm],
> so ist auch [mm]y \in span(X \cup {x})[/mm]
> Bei i) habe ich mir
> gedacht, dass ja eigentlich beides, span(span(X)) und
> span(X) kleinste Unterräume von V sein müssen, die X
> enthalten und somit ja nur gleich sein können, aber kann
> ich das irgendwie formaler machen?
zu i)
Das kommt darauf an, wie ihr span(X) definiert habt. Wenn es als Hüllenoperator definiert ist, dann folgt daraus bereits die Behauptung. Ansonsten kannst du vllt so argumentieren:
X hat als Untervektorraum eine Basis. span(X) ist der Untervektorraum, der von dieser Basis aufgespannt wird. Und span(span(X)) ist der Untervektorraum der von der Basis von span(X) aufgespannt wird. Aber die beiden Basen sind gleich.
zu ii)
Nimm als X'=span(x), also der Raum der von x aufgespannt wird und das tuts.
zu iii)
weiß ich grad nichts
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:06 Di 20.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum. Beweisen Sie
> > folgende Aussagen für alle [mm]X,Y \subseteq V[/mm]:
> > i)
> > [mm]span(span(X))=span(X)[/mm]
> > ii) Ist [mm]x\in span(X)[/mm], so existiert eine endliche
> Teilmenge
> > [mm]X' \subseteq[/mm] so, dass [mm]x \in span(X')[/mm]
> > iii) Ist [mm]x \in span(X \cup \{ y\} ) \backslash span(X)[/mm],
> > so ist auch [mm]y \in span(X \cup {x})[/mm]
> > Bei i) habe ich
> mir
> > gedacht, dass ja eigentlich beides, span(span(X)) und
> > span(X) kleinste Unterräume von V sein müssen, die X
> > enthalten und somit ja nur gleich sein können, aber kann
> > ich das irgendwie formaler machen?
>
> zu i)
> Das kommt darauf an, wie ihr span(X) definiert habt. Wenn
> es als Hüllenoperator definiert ist, dann folgt daraus
> bereits die Behauptung. Ansonsten kannst du vllt so
> argumentieren:
> X hat als Untervektorraum eine Basis.
Unfug ! X ist kein Untervektorraum !
FRED
> span(X) ist der
> Untervektorraum, der von dieser Basis aufgespannt wird. Und
> span(span(X)) ist der Untervektorraum der von der Basis von
> span(X) aufgespannt wird. Aber die beiden Basen sind
> gleich.
>
> zu ii)
> Nimm als X'=span(x), also der Raum der von x aufgespannt
> wird und das tuts.
>
> zu iii)
> weiß ich grad nichts
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> > Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum. Beweisen Sie
> > folgende Aussagen für alle [mm]X,Y \subseteq V[/mm]:
> > i)
> > [mm]span(span(X))=span(X)[/mm]
> > ii) Ist [mm]x\in span(X)[/mm], so existiert eine endliche
> Teilmenge
> > [mm]X' \subseteq X[/mm] so, dass [mm]x \in span(X')[/mm]
> > iii) Ist [mm]x \in span(X \cup \{ y\} ) \backslash span(X)[/mm],
> > so ist auch [mm]y \in span(X \cup {x})[/mm]
> > Bei i) habe ich
> mir
> > gedacht, dass ja eigentlich beides, span(span(X)) und
> > span(X) kleinste Unterräume von V sein müssen, die X
> > enthalten und somit ja nur gleich sein können, aber kann
> > ich das irgendwie formaler machen?
>
> zu i)
> Das kommt darauf an, wie ihr span(X) definiert habt. Wenn
> es als Hüllenoperator definiert ist, dann folgt daraus
> bereits die Behauptung. Ansonsten kannst du vllt so
> argumentieren:
> X hat als Untervektorraum eine Basis. span(X) ist der
> Untervektorraum, der von dieser Basis aufgespannt wird. Und
> span(span(X)) ist der Untervektorraum der von der Basis von
> span(X) aufgespannt wird. Aber die beiden Basen sind
> gleich.
>
> zu ii)
> Nimm als X'=span(x), also der Raum der von x aufgespannt
> wird und das tuts.
Hallo,
auch dies ist Unfug, denn i.a. wird span(x) weder endlich sein, noch [mm] x\in [/mm] X.
Gruß v. Angela
>
> zu iii)
> weiß ich grad nichts
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Di 20.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu i)
Für eine Teilmenge A von V gilt:
a) A [mm] \subseteq [/mm] span(A) und span(A) ist ein UVR von V.
b) Ist A ein UVR von V , so ist A=span(A)
Zu ii)
Ist x [mm] \in [/mm] span(X), so gibt es [mm] x_1,...,x_n \in [/mm] X und [mm] t_1,...t_n \in [/mm] K mit:
x= [mm] t_1x_1+...+t_nx_n
[/mm]
Wie ist jetzt wohl X' zu wählen ?
Zu iii)
Ist $ x [mm] \in [/mm] span(X [mm] \cup \{ y\} [/mm] ) [mm] \backslash [/mm] span(X) $, so gibt es [mm] x_1,...,x_n \in [/mm] X und [mm] t_1,...t_{n+1} \in [/mm] K mit:
x= [mm] t_1x_1+...+t_nx_n+t_{n+1}y [/mm] und [mm] t_{n+1} \ne [/mm] 0.
Löse diese Gleichung nach y auf.
FRED
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