Beweis induz. Matrixnorm < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:28 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tamani |
| Aufgabe | Sei Q [mm] \in R^{nxn} [/mm] eine symmetrische, positiv defi nite Matrix. Zeigen Sie folgende Aussagen:
(a) Durch [mm] ||x||_Q [/mm] := (<x, Qx>)^(1/2) ist eine Norm defi niert, wobei <.,.> das Standardskalarprodukt auf [mm] R^n [/mm] ist.
(b) Es gilt für die von [mm] ||.||_Q [/mm] induzierte Matrixnorm
[mm] ||A||_Q [/mm] = [mm] \wurzel{p(Q^(-1)A^TQA)} [/mm] ,wobei p der Spektralradius ist:
p(B) = max{ [mm] |\lambda [/mm] | [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von B} . |
Hallo Miteinander!!
Bei a) habe ich ein paar Probleme mit der Dreiecksungleichung der Norm.
Bisher habe ich mir folgendes überlegt:
pos. Definitheit: 0= [mm] ||x||_Q =\wurzel{} =\wurzel{x^T Qx} [/mm] Da Q pos. def. Matrix ist folgt, x=0
Skalar: [mm] ||\lambda x||_Q =\wurzel{<\lambda x, \lambda Qx>} [/mm] = [mm] \wurzel{\lambda^2 } [/mm] = [mm] \wurzel{\lambda^2}*\wurzel{} [/mm] = [mm] |\lamda| ||x||_Q
[/mm]
Dreiecksungleichung: Vorüberlegung <Qy,x>= [mm] (Qy)^T [/mm] x = [mm] y^T Q^T [/mm] x = [mm] y^T [/mm] Qx = <y,Qx>
Somit: [mm] ||x+y||_Q^2 [/mm] = <x+y,Q(x+y)> = <x+y, Qx,Qy> = <x,Qx>+<x,Qy>+<y,Qx>+<y,Qy> = <x,Qx>+ 2*<x,Qy>+<y,Qy> <= [mm] ||x||_Q [/mm] +2* [mm] ||x||_Q ||y||_Q ||y||_Q [/mm] = [mm] (||x||_Q+||y||_Q )^2
[/mm]
Ist die Abschätzung soweit richtig??
Bei der b) fehlt mir alerdings jeder Ansatz....
Ich weiss das ich hiermit anfangen soll: [mm] ||A||_Q [/mm] = [mm] max_{||x||=1} ||Ax||_Q
[/mm]
aber wenn ich das einsetze habe ich:
[mm] ||A||_Q [/mm] = [mm] max_{||x||=1}||Ax||_Q [/mm] = [mm] max_{||x||=1} \wurzel{} [/mm] = [mm] max_{||x||=1} \wurzel{ x^T A^T QAx}
[/mm]
Bin für jede Hilfe dankbar!!!
Tamani
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 07.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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