Beweis im Sehnenviereck < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 Mi 10.01.2007 | | Autor: | dasam |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Bei jedem Sehnenviereck gehen die Mittellote (Mittelsenkrechten) aller Seiten durch den Mittelpunkt seines Umkreises. |
Hallo,
ich bin nicht sicher, ob das so der richtige Ansatz ist:
Sehnenviereck ABCD; Diagonalen AC und BD ziehen und beweisen, dass sich die Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks ABC in seinem Umkreismittelpunkt treffen; das gleiche dann für Dreieck BCD.
Wäre das dann alles?
Gruß
Dasam
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:04 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Walty |
> Zeigen Sie: Bei jedem Sehnenviereck gehen die Mittellote
> (Mittelsenkrechten) aller Seiten durch den Mittelpunkt
> seines Umkreises.
> Hallo,
> ich bin nicht sicher, ob das so der richtige Ansatz ist:
> Sehnenviereck ABCD; Diagonalen AC und BD ziehen und
> beweisen, dass sich die Mittelsenkrechten der Seiten des
> Dreiecks ABC in seinem Umkreismittelpunkt treffen; das
> gleiche dann für Dreieck BCD.
> Wäre das dann alles?
> Gruß
> Dasam
Ist der Beweis mit dem Umkreis einfach, oder Euch als bewiesener Satz gegeben?
Mir fällt spontan ein, dass ich ja wenn ich die Radien zu den Eckpunkten einzeichne, ich über jeder beliebigen Sehne (oBdA! -ob sie nun zu einem Viereck gehört, oder peng) ein gleichschenkliges Dreieck aufspanne.
Das Dreick ABM sei nun zu untersuchen. Der Mittelpunkt der Sehne [AB] sei Q. Die Seitenhalbierende von M nach [AB] schneidet in Q. Es entstehen 2 Dreiecke AMQ und MBQ. Per Konstruktion sind aber nun die Seiten [MA]und [MB]gleichlang (=r) sowie auch die Seiten [AQ] und [QB]. Die Strecke [MQ] haben beide Dreiecke gemeinsam. Damit sind sie aber nach dem SSS-satz auch kongruent. Daraus folgt unmittelbar, dass die entsprechenden Winkel in den Dreiecken gleich groß sein müssen. Insbesondere die Winkel bei Q. Da Q auf [AB] liegt, ergibt sich dass beide Winkel = 90° sein müssen (Aussenwinkel = Innenwinkel) dh. aber auch dass MQ (oBdA) nicht nur die Seitenhalbierenbde, sondern gleichzeitig die Mittelsenkrechte des Dreiecks AMB ist.
q.e.d.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 25.01.2007 | | Autor: | dasam |
Jetzt muss ich doch noch einmal nachfragen:
Der Mittelpunkt des Kreises ist nicht gegeben - also ist das mit den Radien doch hinfällig!?
Oder kann ich einfach sagen, dass M durch die Mittellote zweier Sehnen konstruiert werden kann, um anschließend mit deinem Beweis fortzufahren?
Oder gibt es noch eine weitere Möglichkeit, das ganze zu beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Fr 26.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fuer einen Beweis muss der Mittelpunkt nicht gegeben sein! Es muss nur klar sein, dass ein Kreis einen hat, der von allen Kreispunkten denselben Abstand r hat.
dann weiss man, dass die dreiecke gleichscheklig sind usw. usw.
Gruss leduart
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