Beweis im Koordinatensystem < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 So 30.10.2005 | | Autor: | RuffY |
Haloa Leutz,
ich habe eine Aufgabe, bei der ich in Teilaufgabe b) folgendes beweisen soll:
[mm] (\cos \alpha_{1})^{2}+(\cos \alpha_{2})^{2}+(\cos \alpha_{3})^{2}=1
[/mm]
Die angegebenen Winkel beziehen sich auf Winkel, die von einem belibigen Vektor und den Koordinatenachsen
eingeschlossen werden! Ich kann damit leider nichts anfangen, vielleich könnt ihr mir sagen, wie ich an die Aufgabe heran gehen sollte und mir einen Lösungsweg zeigen?!
Vielen Dank!
Sebastian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 So 30.10.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
du kennst doch bestimmt die Formel [mm] sin^2 \alpha_1 [/mm] + [mm] cos^2 \alpha_2 [/mm] = 1 am Einheitskreis. Versuch mal ob du damit weiterkokmmst...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 So 30.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pollux!
Deine genannte Beziehung (trigonometrischer Pythagoras) gilt aber nur für gleiche Winkel!
Gruß
Loddar
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Hi, Ruffy,
die einzelnen Winkel des Vektors [mm] \vektor{a \\ b \\c} [/mm] mit den Koordinatenachsen (Richtungswinkel) berechnet man doch mit Hilfe des Skalarprodukts.
Z.B. für die [mm] x_{1}-Achse:
[/mm]
[mm] cos(\alpha_{1}) [/mm] = [mm] \bruch{a}{\wurzel{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}
[/mm]
Daraus ergibt sich natürlich:
[mm] (cos(\alpha_{1}))^{2} [/mm] = [mm] \bruch{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}
[/mm]
Entsprechend für die anderen Achsen:
[mm] (cos(\alpha_{2}))^{2} [/mm] = [mm] \bruch{b^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}
[/mm]
bzw.
[mm] (cos(\alpha_{3}))^{2} [/mm] = [mm] \bruch{c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}
[/mm]
Naja: Und wenn Du nun alle 3 addierst, kommt 1 raus!
mfG!
Zwerglein
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