Beweis für n-te Wurzel aus n!? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie: Für alle natürliche Zahlen n gilt:
[mm] \wurzel[n]{n} \le [/mm] 1 + [mm] \bruch{2}{\wurzel{n}}
[/mm]
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Hallo zusammen !
Bräuchte mal etwas Hilfe bei diesem Beweis ! leider komm ich hier nicht so ganz weiter !
Geht das mit vollständiger Induktion, komme da dann nämlich nicht weiter !
Oder gibts da irgendwelche anderen Möglichkeiten ?
Habs mal mit vollständiger Induktion probiert:
für n = 1: stimmt, da 1 [mm] \le [/mm] 1 + 2 = 3
n--> n+1: [mm] \wurzel[n+1]{n+1} \le [/mm] 1 + [mm] \bruch{2}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
Bloss da komm ich dann mit ner Zerlegung nicht mehr zurecht ...
Wäre nett, wenn mir hier jemand helfen könnte !
Danke schon mal jetzt !
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Hallo.
> Zeigen Sie: Für alle natürliche Zahlen n gilt:
>
> [mm]\wurzel[n]{n} \le[/mm] 1 + [mm]\bruch{2}{\wurzel{n}}[/mm]
Es hilft dir der binomische Lehrsatz.
[mm] (1+\br{2}{\wurzel{n}})^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k} 1^{n-k}*(\br{2}{\wurzel{n}})^k
[/mm]
jetzt nimmst du nur die Summanden für k=0 und k=2
-->also wird es kleiner als die gesammte Summe
[mm] \ge \vektor{n\\0}*(\br{2}{\wurzel{n}})^0 [/mm] + [mm] \vektor{n\\2}*(\br{2}{\wurzel{n}})^2
[/mm]
= 1 + [mm] (\br{n(n-1)}{1*2})*(\br{4}{n}) [/mm]
= 1 + 2(n-1)
= 2n - 1 [mm] \ge [/mm] n für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
n-te Wurzel ziehen -->
ALSO
[mm] \wurzel[n]{n} \le [/mm] 1 + [mm] \bruch{2}{\wurzel{n}} [/mm] q.e.d.
Das wars.
Tschüß und alles Gute wünscht Röby
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