Beweis für arithmetische Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Di 13.03.2007 | | Autor: | brodo |
| Aufgabe | (Es gibt leider keine exakte Aufgabenstellung, da der Dozent uns den Beweis für die geometrischen Folgen vorgerechnet hat und sagte wir könnten das ganze für die Arithmetischen zu Hause machen.)
Sei [mm] (a_n) [/mm] arithmetisch mit Anfangsglied [mm] a_1 [/mm] und Differenz d. Beweisen Sie:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN a_n=a_1+(n-1)\*d [/mm] |
Meine frag ist, ob die Lösung so stimmt. Bin mir irgendwie unsicher weil's nur ein paar Zeilen sind...
I. Induktionsanfang:
[mm] a_1=a_1+(1-1)\*d
[/mm]
[mm] a_1=a_1 [/mm]
(w)
II. Induktionsschritt:
Sei n [mm] \in \IN
[/mm]
a) Induktionsannahme:
[mm] a_n=a_1+(n-1)\*d
[/mm]
b) Induktionsbehauptung:
[mm] a_n_+_1=a_1+nd
[/mm]
c) Beweis
[mm] a_n_+_1=a_1+nd
[/mm]
II.a) für [mm] a_n [/mm] einsetzen:
[mm] a_1+(n-1)\*d+d=a_1+nd
[/mm]
[mm] a_1+nd-d+d=a_1+nd
[/mm]
[mm] a_1+nd=a_1+nd
[/mm]
qed
Ich hoffe ihr könnt mir sagen ob's richtig ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> (Es gibt leider keine exakte Aufgabenstellung, da der
> Dozent uns den Beweis für die geometrischen Folgen
> vorgerechnet hat und sagte wir könnten das ganze für die
> Arithmetischen zu Hause machen.)
>
> Sei [mm](a_n)[/mm] arithmetisch mit Anfangsglied [mm]a_1[/mm] und Differenz
> d. Beweisen Sie:
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN a_n=a_1+(n-1)\*d[/mm]
> Meine frag ist, ob
> die Lösung so stimmt. Bin mir irgendwie unsicher weil's nur
> ein paar Zeilen sind...
>
> I. Induktionsanfang:
> [mm]a_1=a_1+(1-1)\*d[/mm]
> [mm]a_1=a_1[/mm]
> (w)
>
> II. Induktionsschritt:
> Sei n [mm]\in \IN[/mm]
>
> a) Induktionsannahme:
> [mm]a_n=a_1+(n-1)\*d[/mm]
>
> b) Induktionsbehauptung:
> [mm]a_n_+_1=a_1+nd[/mm]
>
> c) Beweis
> [mm]a_n_+_1=a_1+nd[/mm]
> II.a) für [mm]a_n[/mm] einsetzen:
>
> [mm]a_1+(n-1)\*d+d=a_1+nd[/mm]
> [mm]a_1+nd-d+d=a_1+nd[/mm]
> [mm]a_1+nd=a_1+nd[/mm]
>
> qed
>
> Ich hoffe ihr könnt mir sagen ob's richtig ist.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo brodo,
also bis zum eigentlichen Induktionsbeweis ist das ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
bei dem Beweis (bei dir (c)) gehst du aber von der Induktionsbehauptung aus, die du ja eigentlich zeigen sollst. Wenn du natürlich nur Äquivalenzumformungen machst, ist das in Ordnung, aber sauberer ist es mit der linken Seite der Induktionsbehauptung anzufangen und die rechte Seite zu zeigen, soll heißen:
Beh.: [mm] a_{n+1}=a_1+n\cdot{}d
[/mm]
Bew.: [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] =a_n+d [/mm] (so ist die arithmetische Folge rekursiv definiert)
[mm] =\underbrace{\left(a_1+(n-1)\cdot{}d\right)}_{=a_n}+d [/mm] (nach Induktionsvoraussetzung bzw. IAnnahme))
[mm] =a_1+n\cdot{}d [/mm] und das ist genau die rechte Seite
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Di 13.03.2007 | | Autor: | brodo |
danke.
ich werd' das morgen mal unsrer lerngruppe unterbreiten.
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