Beweis für Wegintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Di 04.05.2010 | | Autor: | Talianna |
| Aufgabe | | Man zeige, dass es für jede komplexe Zahl c einen Weg [mm] \gamma [/mm] gibt, der in 0 [mm] \in \IC [/mm] beginnt und endet, und für den [mm] \integral_{\gamma}{|z|^2 dz} [/mm] = c gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich sitze jetzt schon eine Weile an dieser Aufgabe, und komme einfach nicht weiter.
Folgende Gedanken habe ich mir bereits gemacht:
|z| ist ja der Abstand der komplexen Zahl z zum Ursprung, d.h. |z| = [mm] \wurzel{x^2+y^2}.
[/mm]
Eigentlich hab ich schon mehrfach die Aussage gefunden, dass für geschlossene Wegintegrale das Integral gleich Null sei. Aber das würde doch der Aufgabe widersprechen, oder? Dann würde es ja nur für c=0 gelten, was ja nicht sein soll.
Wenn ich nun folgendes da stehen habe:
[mm] \integral_{\gamma}{|z|^2 dz} [/mm] = [mm] \integral_{\gamma}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
1. Ist der Ansatz so richtig?
2. Was schreibe ich hinter das Integral auf der rechten Seite des Gleichheitszeichen? dz? dxy?
3. Wie muss ich weiterrechnen?
Vielen Dank schonmal für jegliche Hilfe!
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Di 04.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Man zeige, dass es für jede komplexe Zahl c einen Weg
> [mm]\gamma[/mm] gibt, der in 0 [mm]\in \IC[/mm] beginnt und endet, und für
> den [mm]\integral_{\gamma}{|z|^2 dz}[/mm] = c gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich sitze jetzt schon eine Weile an dieser Aufgabe, und
> komme einfach nicht weiter.
> Folgende Gedanken habe ich mir bereits gemacht:
> |z| ist ja der Abstand der komplexen Zahl z zum Ursprung,
> d.h. |z| = [mm]\wurzel{x^2+y^2}.[/mm]
> Eigentlich hab ich schon mehrfach die Aussage gefunden,
> dass für geschlossene Wegintegrale das Integral gleich
> Null sei.
Das ist in dieser allgemeinen Form falsch. Das Integral über einen geschlossenen Weg ist 0, wenn der Integrand im Inneren des von dem Weg eingeschlossenen Gebiets eine holomorphe, also komplex differenzierbare Funktion ist. [mm] $|z|^2$ [/mm] ist aber nicht komplex diff'bar.
> Aber das würde doch der Aufgabe widersprechen,
> oder? Dann würde es ja nur für c=0 gelten, was ja nicht
> sein soll.
> Wenn ich nun folgendes da stehen habe:
> [mm]\integral_{\gamma}{|z|^2 dz}[/mm] =
> [mm]\integral_{\gamma}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
> 1. Ist der Ansatz so richtig?
> 2. Was schreibe ich hinter das Integral auf der rechten
> Seite des Gleichheitszeichen? dz? dxy?
> 3. Wie muss ich weiterrechnen?
Wie ist denn das Wegintegral definiert? Du rechnest es aus, indem du für deinen Weg [mm] $\gamma$ [/mm] eine Parameterdarstellung [mm] $\gamma(t)$, [/mm] zum Beispiel mit Parameter [mm] $0\le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1$ hernimmst und dann
[mm] \integral_\gamma f(z) dz = \integral_{0}^{1} f(\gamma(t)) * \gamma'(t) dt [/mm]
berechnest.
Tipp: berechne dieses Integral für deine Funktion [mm] $f(z)=|z|^2$ [/mm] entlang eines einfachen geschlossenen Weges, zum Beispiel entlang eines Kreises mit Radius r oder eines Rechtecks mit Kantenlängen a und b. Dann überlege dir, ob du durch Veränderung dieses Weges jede beliebige Zahl als Ergebnis erhalten kannst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Talianna |
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe!
Ich habe mir jetzt überlegt, dass ja der Weg [mm] \gamma: [/mm] [0, [mm] 2\pi] \gamma: [/mm] t [mm] \mapsto z_0 +re^{it} [/mm] einen Kreis beschreiben müsste.
Wenn ich jetzt noch bedenke, dass dieser Kreis durch den Ursprung des Koordinatensystems verlaufen müsste, dann hätte ich für den Radius r = [mm] |z_0|. [/mm]
[mm] \gamma' [/mm] müsste dann ja = [mm] ire^{it} [/mm] sein.
Wenn ich das jetzt in die Definition für ein Wegintegral einsetze, würde ich auf das hier kommen:
[mm] \integral_{\gamma}{f(x) dx} [/mm]
= [mm] \integral_{\gamma}{f(\gamma(t))*\gamma'(t) dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{|z_0 + re^{it}|^2 * ire^{it}}
[/mm]
Ich könnte auch für r noch [mm] |z_0| [/mm] einsetzen.
Aber wie mache ich jetzt weiter? Wie berechne ich den Betrag [mm] |z_0 [/mm] + [mm] re^{it}|? [/mm] Ich weiß bisher nur so wirklich, wie ich den Betrag einer komplexen Zahl ausrechne, das ist ja |z| = [mm] \wurzel{x^2+y^2}.
[/mm]
Grüße und Dank
Talianna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Mi 05.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Ich habe mir jetzt überlegt, dass ja der Weg [mm]\gamma:[/mm] [0,
> [mm]2\pi] \gamma:[/mm] t [mm]\mapsto z_0 +re^{it}[/mm] einen Kreis
> beschreiben müsste.
> Wenn ich jetzt noch bedenke, dass dieser Kreis durch den
> Ursprung des Koordinatensystems verlaufen müsste, dann
> hätte ich für den Radius r = [mm]|z_0|.[/mm]
> [mm]\gamma'[/mm] müsste dann ja = [mm]ire^{it}[/mm] sein.
Stimmt
>
> Wenn ich das jetzt in die Definition für ein Wegintegral
> einsetze, würde ich auf das hier kommen:
>
> [mm]\integral_{\gamma}{f(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{\gamma}{f(\gamma(t))*\gamma'(t) dt}[/mm]
Nein. Richtig:
= [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(\gamma(t))*\gamma'(t) dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{|z_0 + re^{it}|^2 * ire^{it}}[/mm]
>
> Ich könnte auch für r noch [mm]|z_0|[/mm] einsetzen.
> Aber wie mache ich jetzt weiter? Wie berechne ich den
> Betrag [mm]|z_0[/mm] + [mm]re^{it}|?[/mm] Ich weiß bisher nur so wirklich,
> wie ich den Betrag einer komplexen Zahl ausrechne, das ist
> ja |z| = [mm]\wurzel{x^2+y^2}.[/mm]
Sei [mm] $x_0= Re(z_0)$ [/mm] und [mm] $y_0= Im(z_0)$
[/mm]
Dann ist
[mm] $z_0+re^{it}= x_0+rcos(t)+i(y_0+rsin(t))$
[/mm]
Kannst Du jetzt den Betrag bestimmen ?
FRED
>
> Grüße und Dank
> Talianna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Talianna |
Was war denn bei dem Integral falsch? Nur, dass ich die Grenzen schon dabei schreiben muss, wenn ich [mm] \gamma [/mm] einsetze?
Sinus und Cosinus waren noch nie meine Stärken, aber ich versuch es mal:
[mm] |z_0 [/mm] + [mm] re^{it}|^2
[/mm]
= [mm] $|x_0 [/mm] + r*cos(t) + [mm] i(y_0 +r*sin(t))|^2$
[/mm]
[mm] =\wurzel{(x_0 +rcos(t))^2 + (y_0 +rsin(t))^2}^2
[/mm]
==> Wurzel und Quadrat heben sich auf
[mm] =x_0^2 [/mm] + [mm] 2x_0*r*cos(t) [/mm] + [mm] r^2*cos(t)^2 [/mm] + [mm] y_0^2 [/mm] + [mm] 2y_0*r*sin(t) [/mm] + [mm] r^2*sin(t)^2
[/mm]
[mm] =r^2(cos(t)^2+sin/t)^2) [/mm] + [mm] x_0^2 +2*x_0*r*cos(t) +2*y_0*r*sin(t) [/mm] + [mm] y_0^2
[/mm]
==> [mm] cos(t)^2+sin(t)^2 [/mm] = 1
[mm] =r^2 [/mm] + [mm] 2*x_0*r*cos(t) [/mm] + [mm] 2*y_0*r*sin(t) [/mm] + [mm] x_0^2 [/mm] + [mm] y_0^2
[/mm]
Kann ich da noch mehr Vereinfachen, oder ist das jetzt mein fertiger Betrag?
Wenn ich dann noch für den zweiten Teil des Integrals für [mm] $i|z_0|e^{it} [/mm] = [mm] i\wurzel{x^2+y^2}*(cos(t)+i*sin(t))$ [/mm] schreibe, und das dann ausmultiplizier, da kommt doch dann was ganz furchtbares raus, was man kaum noch integrieren kann...
Ich steh bei sowas irgendwie echt immer auf dem Schlauch. Und das Integral zu finden ist ja erstmal nur der erste Schritt....
Grüße und Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mi 05.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schlimmer Fehler:
[mm] \wurzel{a^2+b^2}\ne [/mm] a+b!!!
da du nur irgendeinen Weg durch 0 brauchst, kannst du auch [mm] y_0=0 x_0=r [/mm] nehmen.
Die klammer in der Wurzel ausrechnen, und sin^2t+cos^2t=1 ausnutzen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Talianna |
Das weiß ich doch, aber ich muss ja die Wurzel nochmal quadrieren, wegen [mm] |z|^2. [/mm] Und da hebt sich doch dann die Wurzel mit dem äußersten Quadrat auf.
Oder welche Stelle meinst du?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Mi 05.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry!!, ich hab nicht aufgepasst!
dann hilft dir zur vereinfachung nur mein Hinweis [mm] r=x_0, y_0=0
[/mm]
dann wirs schon ziemlich einfach.
(Wenn du mit dem kreis nicht so leicht umgehen kannst nimm nen einfacheren Weg, ein Rechteck) der Weg besteht dann aus 4 einfachen Stücken
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mi 05.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Was war denn bei dem Integral falsch? Nur, dass ich die
> Grenzen schon dabei schreiben muss, wenn ich [mm]\gamma[/mm]
> einsetze?
>
> Sinus und Cosinus waren noch nie meine Stärken, aber ich
> versuch es mal:
>
> [mm]|z_0[/mm] + [mm]re^{it}|^2[/mm]
> = [mm]|x_0 + r*cos(t) + i(y_0 +r*sin(t))|^2[/mm]
> [mm]=\wurzel{(x_0 +rcos(t))^2 + (y_0 +rsin(t))^2}^2[/mm]
>
> ==> Wurzel und Quadrat heben sich auf
>
> [mm]=x_0^2[/mm] + [mm]2x_0*r*cos(t)[/mm] + [mm]r^2*cos(t)^2[/mm] + [mm]y_0^2[/mm] +
> [mm]2y_0*r*sin(t)[/mm] + [mm]r^2*sin(t)^2[/mm]
> [mm]=r^2(cos(t)^2+sin/t)^2)[/mm] + [mm]x_0^2 +2*x_0*r*cos(t) +2*y_0*r*sin(t)[/mm]
> + [mm]y_0^2[/mm]
>
> ==> [mm]cos(t)^2+sin(t)^2[/mm] = 1
>
> [mm]=r^2[/mm] + [mm]2*x_0*r*cos(t)[/mm] + [mm]2*y_0*r*sin(t)[/mm] + [mm]x_0^2[/mm] + [mm]y_0^2[/mm]
>
> Kann ich da noch mehr Vereinfachen, oder ist das jetzt mein
> fertiger Betrag?
> Wenn ich dann noch für den zweiten Teil des Integrals
> für [mm]i|z_0|e^{it} = i\wurzel{x^2+y^2}*(cos(t)+i*sin(t))[/mm]
Da steht nicht der Betrag [mm] $|z_0|$, [/mm] sondern [mm] $z_0$ [/mm] !
> schreibe, und das dann ausmultiplizier, da kommt doch dann
> was ganz furchtbares raus, was man kaum noch integrieren
> kann...
Nein gar nicht, denn [mm] $z_0$ [/mm] ist doch eine Konstante, also bleibt
[mm]iz_0e^{it} = iz_0(\cos(t) + i\sin(t)) [/mm],
und den konstanten Faktor [mm] $iz_0$ [/mm] kannst du vor das Integral ziehen.
> Ich steh bei sowas irgendwie echt immer auf dem Schlauch.
> Und das Integral zu finden ist ja erstmal nur der erste
> Schritt....
Wenn du alles zusammensetzt bleiben nur noch relativ einfache Terme der Form [mm] $\cos [/mm] t$ oder [mm] $\sin [/mm] t * [mm] \cos [/mm] t$ übrig.
Und noch ein Tipp: [mm] $\integral_0^{2\pi} \cos(t) [/mm] dt = 0$, ebenso für den Sinus.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Talianna |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
So, erstmal vielen Dank für die tatkräftige Hilfe.
Ich habe jetzt folgendes (feine Zwischenschritte lass ich raus, die stehen ja schon zum Teil weiter oben...)
$\integral_{0}^{2\pi}{|z_0 + re^{it}|^2 * ire^{it} dt}$
$= \integral_{0}^{2\pi}{(r^2 + 2x_0*r*cos(t)+2ry_0sin(t) + x_0^2 + y_0^2)*iz_0 e^{it} dt}$
==> an der Stelle hab ich noch nicht so ganz verstanden, warum ich statt dem r im zweiten Part (also dem \gamma'(t)) das z_0 einsetzen kann, und warum ich y_0=0 und x_0 = r habe. Damit weitergerechnet erhalte ich jedenfalls:
$= \integral_{0}^{2\pi}{(2r^2 + 2r^2cos(t))*iz_0e^{it}dt}$
==> iz_0 und dann (im Schritt danach) auch noch 2r^2 vor das Integral gezogen, und die einzelnen Integrale auseinander gezogen:
$= iz_0*\integral_{0}^{2\pi}{(2r^2*(cos(t)+cos(t)^2)+ i*\integral_{0}^{2\pi}{2r^2(sin(t)+cos(t)*sin(t))dt}$
==> das $\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)}$ ist ja 0, das von sin(t) ebenfalls. Und $\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)^2}=-\pi$. Damit fällt der hintere Teil weg (weil komplett 0), und ich habe noch übrig:
$= iz_0*2r^2*(-\pi)$
Ist das so jetzt richtig?
Wenn ja, dann würde ich jetzt daraus folgern, dass das definierte Wegeintegral nur von z_0 und dem zu dieser Zahl zugehörigen Radius abhängt und von nichts anderem. Also würde es für jedes beliebige z_0 gelten....
Tut mir leid, wenn ich so oft nachfrage, aber ich hab mit so Beweisen echt Probleme.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mi 05.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> So, erstmal vielen Dank für die tatkräftige Hilfe.
>
> Ich habe jetzt folgendes (feine Zwischenschritte lass ich
> raus, die stehen ja schon zum Teil weiter oben...)
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{|z_0 + re^{it}|^2 * ire^{it} dt}[/mm]
> [mm]= \integral_{0}^{2\pi}{(r^2 + 2x_0*r*cos(t)+2ry_0sin(t) + x_0^2 + y_0^2)*iz_0 e^{it} dt}[/mm]
>
> ==> an der Stelle hab ich noch nicht so ganz verstanden,
> warum ich statt dem r im zweiten Part (also dem [mm]\gamma'(t))[/mm]
> das [mm]z_0[/mm] einsetzen kann,
Weil der Kreis durch den Nullpunkt gehen muss, und das geht nur, wenn [mm] $|z_0|=r$. [/mm] Da hab ich mich übrigens auch vertan, es muss doch der Betrag da stehen.
> und warum ich [mm]y_0=0[/mm] und [mm]x_0[/mm] = r
> habe. Damit weitergerechnet erhalte ich jedenfalls:
Das ist eine Vereinfachung, um das Problem leichter in den Griff zu bekommen. Damit legst du den Mittelpunkt des Kreises auf die positive x-Achse.
>
> [mm]= \integral_{0}^{2\pi}{(2r^2 + 2r^2cos(t))*iz_0e^{it}dt}[/mm]
>
> ==> [mm]iz_0[/mm] und dann (im Schritt danach) auch noch [mm]2r^2[/mm] vor
> das Integral gezogen, und die einzelnen Integrale
> auseinander gezogen:
>
> [mm]= iz_0*\integral_{0}^{2\pi}{(2r^2*(cos(t)+cos(t)^2)+ i*\integral_{0}^{2\pi}{2r^2(sin(t)+cos(t)*sin(t))dt}[/mm]
>
> ==> das [mm]\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)}[/mm] ist ja 0, das von
> sin(t) ebenfalls. Und [mm]\integral_{0}^{2\pi}{cos(t)^2}=-\pi[/mm].
> Damit fällt der hintere Teil weg (weil komplett 0), und
> ich habe noch übrig:
>
> [mm]= iz_0*2r^2*(-\pi)[/mm]
>
> Ist das so jetzt richtig?
Fast. Wie gesagt, mein Fehler: es muss [mm] $|z_0|$ [/mm] statt [mm] $z_0$ [/mm] heißen, und da [mm] $|z_0|=r$ [/mm] ist, ist dies
[mm] = -i \pi r^3 [/mm].
> Wenn ja, dann würde ich jetzt daraus folgern, dass das
> definierte Wegeintegral nur von [mm]z_0[/mm] und dem zu dieser Zahl
> zugehörigen Radius abhängt und von nichts anderem. Also
> würde es für jedes beliebige [mm]z_0[/mm] gelten....
Da du r beliebig wählen kannst, bekommst du als Ergebnis jede beliebige Zahl auf der negativen imaginären Achse. Das ist doch schon mal ganz vielversprechend.
So, und jetzt lässt du die Annahme [mm] $x_0=r$ [/mm] und [mm] $y_0=0$ [/mm] weg und rechnest das Integral nochmal aus:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{(r^2 + 2x_0\cdot{}r\cdot{}cos(t)+2ry_0sin(t) + x_0^2 + y_0^2)\cdot{}i|z_0 |e^{it} dt} [/mm]
Da [mm] $x_0^2+y_0^2=r^2$ [/mm] ist:
[mm] = ir \integral_{0}^{2\pi} (2r^2 e^{it} +2r x_0 \cos t e^{it} +2 r y_0 \sin t e^{it} ) dt [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Do 06.05.2010 | | Autor: | Talianna |
Vielen vielen Dank nochmal für die Hilfe.
Ich habe jetzt das Integral "allgemein" ausgerechnet (also schon mit dem Weg [mm] \gamma(t) [/mm] als Kreis, aber ohne die Vereinfachung, dass der Kreis den Mittelpunkt auf der Reellwertigen Achse hat)
Dabei ist folgendes rausgekommen:
[mm] \Integral_{0}^{2\pi}{f(\gamma(t))\gamma'(t)} [/mm] = [mm] ir*(-2rx_0\pi [/mm] + [mm] i2ry_0\pi) [/mm] = [mm] -2r^2y_0\pi [/mm] - [mm] i2rx_0\pi
[/mm]
Kommt das so hin?
Und reicht es jetzt, wenn ich als Abschlussbegründung schreibe: Da das Integral offenbar nur von [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] (also vom gewählten [mm] z_0) [/mm] und dem zugehörigen Radius abhängig ist (da [mm] r=|z_0|), [/mm] existiert es zu jeder beliebigen komplexen Zahl c dieses Integral. Und da bei geschlossenen Wegintegralen nur der Endpunkt entscheidend ist, nicht aber der Weg, gilt es auch nicht nur für den Kreis, sondern jeden beliebigen Weg. ???
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Do 06.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst doch nur zeigen, dass es für jedes c einen Weg gibt, nicht dass beliebige Wege dasselbe ergeben, Das tun sie ja auch nicht, denn wenn du [mm] r,x_0,y_0 [/mm] anders whlst kommt ein anderes c raus.
du musst nur noch schreiben, dass du jedes c=c1+ic2 erreichen kannst am besten indem du ein passendes x0,y0 für c1,c2 angiebst.
Gruss leduart
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