Beweis für W-Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Mo 31.10.2011 | | Autor: | yonca |
| Aufgabe | Offenbar ist [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR [/mm] eine überabzählbare Menge. Das Mengensystem
F:= { A ist Element der Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] | A ist abzählbar oder [mm] A^c [/mm] ist abzählbar} ist eine [mm] \sigma [/mm] Algebra auf [mm] \Omega.
[/mm]
Durch die Vorschrift:
[mm] \mu (A)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }A^c\mbox{ abzählbar} \\
0 & \mbox{wenn }A\mbox{ abzählbar}
\end{matrix}\right. [/mm]
wird eine Mengenfunktion [mm] \mu [/mm] : F [mm] \to \IR_+ [/mm] definiert. Zeigen Sie, dass [mm] \mu [/mm] ein W-Maß auf F ist. |
Hallo,
die Nicht-Negativitätsbedingung und die Normiertheit sind ja ganz offensichtlich und einfach zu zeigen. Was mir Probleme bereitet ist die [mm] \sigma [/mm] -Additivität. Ich würde sogar fast denken, dass diese nicht erfüllt ist. Denn wenn ich den Funktionswert der Vereinigung einer disjunkten Mengenfolge aus F bilde, dann kann dieser ja nur 0 oder 1 sein. Wenn ich dann aber andererseits die Funktionswerte [mm] \mu (A_n) [/mm] addiere könnten dann nicht auch Werte größer als 1 herauskommen? Aber vermutlich geht dies doch nicht, was vielleicht damit zu tun hat, dass die Mengen [mm] A_n [/mm] der Mengenfolge paarweise disjunkt sind.
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
Gruß, Y.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mo 31.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo yonca,
> Was mir
> Probleme bereitet ist die [mm]\sigma[/mm] -Additivität. Ich würde
> sogar fast denken, dass diese nicht erfüllt ist.
Doch, ist sie.
> Denn wenn
> ich den Funktionswert der Vereinigung einer disjunkten
> Mengenfolge aus F bilde, dann kann dieser ja nur 0 oder 1
> sein. Wenn ich dann aber andererseits die Funktionswerte
> [mm]\mu (A_n)[/mm] addiere könnten dann nicht auch Werte größer
> als 1 herauskommen? Aber vermutlich geht dies doch nicht,
> was vielleicht damit zu tun hat, dass die Mengen [mm]A_n[/mm] der
> Mengenfolge paarweise disjunkt sind.
Genau so ist es! Falls [mm] $A,B\in [/mm] F$ disjunkt sind, können nicht [mm] $A^c$ [/mm] und [mm] $B^c$ [/mm] gleichzeitig abzählbar sein:
Aus [mm] $A\cap B=\emptyset$ [/mm] folgt durch Komplementbildung [mm] $A^c\cup B^c=\Omega$. [/mm] Wären [mm] $A^c$ [/mm] und [mm] $B^c$ [/mm] beide abzählbar, so auch [mm] $\Omega=\IR$.
[/mm]
In Folgen [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] paarweise disjunkter Mengen [mm] $A_n\in [/mm] F$ gibt es also höchstens ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $A_m^c$ [/mm] abzählbar. Untersuche nun die beiden Fälle
1. alle [mm] $A_n$ [/mm] abzählbar und
2. ex. genau ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $A_m^c$ [/mm] abzählbar (wenn du möchtest O.E. m=1)
separat.
Viele Grüße
Tobias
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