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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Di 14.11.2006 | | Autor: | dexter |
| Aufgabe | Untersuchen Sie f auf Polstellen einschließlich VZW.
[mm] f(x)=\bruch{x^2-2x-3}{x^2-1} [/mm] |
Ich weiß, dass diese Funktion ihre Polstelle bei x=1 bzw. x=-1 hat, da der Nenner für diese x-Werte 0 werden würde.
Wie führe ich jetzt aber einen Beweis dafür an?
Die Aufgabenstellung lautet "Untersuche..." was ja ein ziemlich weitgreifender Begriff ist.
Meine Ansätze sind x [mm] \to [/mm] 1_+^- laufen zu lassen und dann zu sagen für x [mm] \to [/mm] 1_+^- ; gilt [mm] f(x)\to+/-\infty
[/mm]
*entschuldigt bitte die Darstellung, gemeint ist, dass man sich dem Wert 1 von Links und von Rechts nähert. Ich habe leider keine passende Darstellung gefunden, außerdem kenne ich es nur so, dass + unter - hochgestellt diese Näherung darstellt.*
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
mfg dex
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Hallo dexter und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Untersuchen Sie f auf Polstellen einschließlich VZW.
> [mm]f(x)=\bruch{x^2-2x-3}{x^2-1}[/mm]
> Ich weiß, dass diese Funktion ihre Polstelle bei x=1 bzw.
> x=-1 hat, da der Nenner für diese x-Werte 0 werden würde.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Wie führe ich jetzt aber einen Beweis dafür an?
> Die Aufgabenstellung lautet "Untersuche..." was ja ein
> ziemlich weitgreifender Begriff ist.
> Meine Ansätze sind x [mm]\to[/mm] 1_+^- laufen zu lassen und dann
> zu sagen für x [mm]\to[/mm] 1_+^- ; gilt [mm]f(x)\to+/-\infty[/mm]
> *entschuldigt bitte die Darstellung, gemeint ist, dass man
> sich dem Wert 1 von Links und von Rechts nähert. Ich habe
> leider keine passende Darstellung gefunden, außerdem kenne
> ich es nur so, dass + unter - hochgestellt diese Näherung
> darstellt.*
Am besten untersuchst du die Funktion beispielhaft für 1+h mit h>0:
[mm]f(x)=\bruch{(1+h)^2-2(1+h)-3}{(1+h)^2-1}[/mm]
löst die Klammern auf, fasst zusammen und zerlegst den Bruch in mehrere Einzelbrüche.
Wenn du dann den Grenzwert [mm] h\to0 [/mm] ermittelst und das gleich auch für (1-h) machst, erkennst du schnell, ob die Funktion an der Polstelle einen Vorzeichenwechsel hat oder nicht.
Mehr kannst du eigentlich nicht untersuchen.
Es gibt aber noch einen zweiten Weg:
[mm]f(x)=\bruch{x^2-2x-3}{x^2-1}[/mm]
Zerlege den Zähler mit dem Satz von  Vieta in ein Produkt und schau nach, ob du für [mm] x\ne1 [/mm] kürzen kannst.
Dann machst du wieder die Grenzwertbetrachtung.
Gruß informix
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