Beweis: f(z) liegt nicht dicht < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:41 Fr 27.07.2007 | | Autor: | daria |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Die Polynome [mm] f:\overline{G}\to \IC, f(z)=\summe_{i=0}^{n} a_{i}z^{i} [/mm] mit [mm] \overline{G}={z\in\IC:|z|\le1 }
[/mm]
liegen nicht dicht in der Menge der stetigen Funktionen [mm] f:\overline{G}\to \IC [/mm] bzgl der Maximumsnorm [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] = [mm] max_{ \parallel z \parallel \le1} \parallel f(z)\parallel.
[/mm]
Tipp: Betrachten Sie speziell die Funktion f(z)=1-|z|. |
Wie kann ich zeigen, dass eine Funktion nicht dicht liegt?
Die Funktion f(z) = 1-|z| nimmt ja nach dem Maximumsprinzip auf |z|=1 ihr Maximum an, also f(1)=0 bzw f(-1)=0.
Angenommen ich will einen Gegenbeweis starten:
Also es gibt eine Umgebung [mm] U_{\varepsilon}\cap [/mm] f(z) = c , also [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Wäre das ein richtiger Ansatz?
Aber wie kann ich weiter kommen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Fr 27.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo daria!
> Die Funktion f(z) = 1-|z| nimmt ja nach dem Maximumsprinzip
> auf |z|=1 ihr Maximum an, also f(1)=0 bzw f(-1)=0.
Das tut sie eindeutig nicht: [mm]f(0) = 1 > f(1)[/mm]. Diese Funktion ist zwar stetig, aber nicht holomorph in ganz [mm]\overline{G}[/mm]. Da gilt das Maximumsprinzip nicht.
Vielleicht hilft dir dies weiter.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Fr 27.07.2007 | | Autor: | daria |
Oh man, stimmt ja. Das war zu schnell gedacht..
Okay, also jetzt weiß ich [mm] f(z)=1-|z|[/mm] hat sein Maximum in [mm] f(0)=1 [/mm].
Mir ist nicht genau klar was ich nun zu zeigen habe:
Soll ich jetzt zeigen, dass in einer Umgebung von 1 keine weiteren Punkte von f(z) liegen? Aber das stimmt doch nicht.
Oder soll ich mir jetzt eine weitere Funktion bzw. alle anderen Polynome nehmen und zeigen, dass das Maximum dieser Funktionen nicht in einer Umgebung von 1 liegen.
Ich hoffe ich habs nicht zu kompliziert ausgedrückt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du hast eine Menge M von Funktionen gegeben, nämlich deine Polynome. Jetzt sollst du zeigen, dass diese nicht dicht in der Menge der stetigen Funktionen bzgl. sup-Norm liegt.
Dichtheit bedeutet ja, dass der Abschluss von M gerade die Menge der stetigen Funktionen ist (auf G quer).
Also:
Kann man zu jeder stetigen Funktion (auf G quer) eine Folge von Polynomen finden, so dass diese glm. (!!!) gegen f konvergieren?
Es ist angegeben, dabei die Funktion 1-IzI zu betrachten.
Du musst also zeigen, dass es keine Folge von Polynomen gibt, die glm. gegen 1-IzI konvergiert.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Fr 27.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo daria,
vielleicht hilft dir noch dieser Hinweis:
Wenn in einer endlichen Umgebung um die Funktion [mm]f(z) = 1- |z|[/mm] kein Polynom p(z) liegt, dann kann es auch keine Polynomfolge geben, die gegen [mm]1- |z|[/mm] konvergiert. Du könnstest also versuchen, eine untere Grenze für den Abstand [mm]\|f-p\| [/mm] zu finden.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 28.07.2007 | | Autor: | daria |
Vielen dank, jetzt hab ich wirklich verstanden um was die Aufgabe geht!
also ich versuchs mal mit:
[mm]
\parallel (1-|x|) - \summe_{i=0}^{n} a_{i} z^{i} \parallel \ge
\parallel (1-|x|) \parallel - \parallel\summe_{i=0}^{n} a_{i} z^{i} \parallel = 1 - \parallel\summe_{i=0}^{n} a_{i} z^{i} \parallel
[/mm]
was kann ich denn über das Maximum der stetigen Funktionen aussagen, für |z| [mm] \le [/mm] 1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Sa 28.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo daria!
> also ich versuchs mal mit:
> [mm]
\parallel (1-|x|) - \summe_{i=0}^{n} a_{i} z^{i} \parallel \ge
\parallel (1-|x|) \parallel - \parallel\summe_{i=0}^{n} a_{i} z^{i} \parallel = 1 - \parallel\summe_{i=0}^{n} a_{i} z^{i} \parallel
[/mm]
>
> was kann ich denn über das Maximum der stetigen Funktionen aussagen, für [mm]|z|\le1[/mm]?
Wenig, fürchte ich. Aber über das Maximum der Polynome [mm]p(z)[/mm] kannst du etwas aussagen, denn die sind ja holomorph.
Und dann würde ich den Punkt [mm]z=0[/mm] und den Rand [mm]|z|=1[/mm] genauer anschauen, bevor du die Dreiecksungleichung anwendest.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 So 29.07.2007 | | Autor: | daria |
okay also:
die Polynome p(z) sind holomorph deswegen nehmen sie ihr Maximum auf dem Rand an, also für |z|=1.
das heißt für z=1
[mm]
\parallel (1-|z|) - \summe_{i=0}^{n} a_{i} z^{i} \parallel =
\parallel (0 - \summe_{i=0}^{n} a_{i} 1^{i} \parallel
[/mm]
konnte ich jetzt sagen:
für [mm] a_{i}\not=0 [/mm] mit [mm] i [/mm] aus [mm] 0,...,n[/mm]
gibt es eine Umgebung U um 0 mit U [mm] \cap [/mm] p(z) = [mm] \emptyset.
[/mm]
hm, ich versteh noch nicht so ganz wie genau ich zeigen kann, dass sie nicht dicht liegen.. also wie ich zeige, dass der Abstand zu groß ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 29.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo daria,
deswegen meinte ich, du solltest dir auch noch den Punkt z=0 anschauen. Dort ist ja
[mm]|(1-|0|) - p(0)| = |1-a_0|[/mm], also ist [mm]\|(1-|z|) - p(z)\| \geq |1-a_0|[/mm].
Alle Polynome mit festem [mm]a_0\not=1[/mm] liegen also außerhalb einer Umgebung mit Radius [mm]|1-a_0|[/mm] um die Funktion [mm]1-|z|[/mm]. Für unsere Betrachtung sind damit nur die Polynome mit [mm]a_0=1[/mm] interessant.
Und jetzt schaust du dir die Situation auf dem Rand an. Übrigens kannst du nicht einfach z=1 annehmen. Das Maximumsprinzip sagt, dass es ein z mit [mm]|z|=1[/mm] gibt, für das ein Polynom maximal wird.
Grüße
Rainer
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