Beweis einer Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Sorry für den etwas ungenauen Betreff. Wusst enicht wie ich das erklären sollte.
Haben heute eine Aufgabe bekommen die wir bis nächste Woche lösen sollen. Hab schon mit anderen Komilitonen gesprochen aber irgendiwe haben wir heute keinen richtigen Ansatz gefunden. Auch jetzt komme ich auf keinen grünen Zweig.
Aufgabe:
[mm] \bruch{u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+...+u_{n}v_{n}}{n} \ge \bruch{u_{1}+u_{2}+...+u_{n}}{n}+\bruch{v_{1}+v_{2}+...+v_{n}}{n}
[/mm]
[mm] u_{1}\ge u_{2}\ge ...\ge u_{n} [/mm] und [mm] v_{1}\ge v_{2}\ge...\ge v_{n}
[/mm]
Als Hinweis haben wir folgende bekommen.
Zeigen sie daß, [mm] \summe_{ij=1}^{n}(u_{i}-u_{j})(v_{i}-v_{j})\ge0
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Ungleichung ist im Allgemeinen falsch.
Wähle $n=2$, [mm] $u_1=v_1=0,3$ [/mm] und [mm] $u_2=v_2=0,1$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\frac{u_1v_1 + u_2v_2}{2} [/mm] = 0,05 < 0,4 = [mm] \frac{u_1 + u_2}{2} [/mm] + [mm] \frac{v_1 + v_2}{2}$.
[/mm]
Kann es sein, dass die Ungleichung wie folgt heißen muss:
[mm]\bruch{u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+...+u_{n}v_{n}}{n} \ge \bruch{u_{1}+u_{2}+...+u_{n}}{n}\cdot \bruch{v_{1}+v_{2}+...+v_{n}}{n}
[/mm]
[mm]u_{1}\ge u_{2}\ge ...\ge u_{n}[/mm] und [mm]v_{1}\ge v_{2}\ge...\ge v_{n}
[/mm]
Dann folgt die Behauptung mehr oder weniger direkt aus dem Hinweis:
[mm]\summe_{ij=1}^{n}(u_{i}-u_{j})(v_{i}-v_{j})\ge0[/mm].
Und der Hinweis folgt so: Dies ist eine Summe von Zweierprodukten, bei denen nach Voraussetzung entweder beide Faktoren nichtnegativ oder nichtpositiv sind, also eine Summe nichtnegativer Zahlen.
Wenn ihr noch Fragen habt, meldet euch, ich bin noch lange wach. 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Ja das plus hätte ein mal sein müssen. Da habe ich mich verschrieben.
Ich verstehe aber noch immer nicht wie man die erste Form umformt um auf einen verständlichere Form zu kommen.
Bekomme es irgendwie nicht umgeformt.
Ist irgendwie frustrierend wenn man ewig an einer Aufgabe sitzt und zum schluss hängen bleibt.
Finde es wunderbar das es hier eine Plattform gibt die einem bei solchen Problemen weiterhelfen kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:29 Sa 16.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ist dir denn der Hinweis klar? Also die Tatsache, dass die Summe dort größer als oder gleich $0$ ist?
Dazu hatte ich ja eine Erklärung geschrieben. Hast du die verstanden?
Wenn ja, dann zeige ich dir gleich, wie man den Hinweis dann benutzt.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Das die Summe aus beider Paare positiv oder negativ sein muss habe ich verstanden. Mir ist nur nicht klar wie man bis dahin kommt.
Bekomme halt die Brüche nicht richtig umgeformt.
|
|
|
| |
|
Vielleicht ist es hier besser, nicht die Brüche umzuformen, sondern die schon gezeigte Gleichung, um dann auf die Brüche zu kommen...
Also:
[mm] $\sum_{i,j=1}^n (u_i [/mm] - [mm] u_j)(v_i [/mm] - [mm] v_j) \geq [/mm] 0$ sehen ja alle ein.
Multiplizieren wir die Summe aus, so erhalten wir für beliebiges $i$ den Faktor [mm] $u_iv_i$ [/mm] genau $n$ mal... nämlich für jedes $j$ von $1$ bis $n$. Ebenso erhalten wir [mm] $u_jv_j$ [/mm] genau $n$ mal. Und schließlich erhalten wir für $i$ und $j$ beliebig den Summanden [mm] $-u_iv_j$ [/mm] zwei Mal - ist das klar?
Dann folgt doch:
$0 [mm] \leq \sum_{i,j=1}^n (u_i [/mm] - [mm] u_j)(v_i [/mm] - [mm] v_j) [/mm] = 2n [mm] \sum_{i = 1}^n u_iv_i [/mm] - 2 [mm] \sum_{\stackrel{i,j = 1}{i \not=j}}^n u_iv_j$
[/mm]
Wenn Du Dir jetzt die Ausgangsbrüche ansiehst und den rechten ausmultiplizierst und die Faktoren richtig jonglierst (nicht vergessen: rechts steht dann [mm] $n^2$ [/mm] im Nenner!), dann kommst auf die Gewünschte Ungleichung.
Lars
|
|
|
| |
|
Danke erst einmal für eure Hilfe!!! Respekt!!! Ihr habt echt was drauf.
Nur noch mal ne Frage:
Wie kommst du jetzt auf die Paare [mm] 2n...u_iv_i [/mm] - [mm] 2...u_iv_j?
[/mm]
Ich komme eher auf folgende Paare: [mm] u_iv_i; -u_iv_j; -u_jv_i; u_jv_j.
[/mm]
Wie fasst du die denn jetzt genau zusammen?
Wie gehst du denn danach vor?
Irgendwie bleibe ich bei dieser Aufgabe immer wieder hängen. Da merkt man das man über anderthalb Jahre kein Mathe gemacht hat.
Aber meinen Komilitonen geht es nicht anders. Aber zum Glück gibt es ja Hilfe im Netz!
Danke nochmal!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:28 Di 19.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo verzweifelterStudent,
> Danke erst einmal für eure Hilfe!!! Respekt!!! Ihr habt
> echt was drauf.
>
> Nur noch mal ne Frage:
> Wie kommst du jetzt auf die Paare [mm]2n...u_iv_i[/mm] -
> [mm]2...u_iv_j?
[/mm]
> Ich komme eher auf folgende Paare: [mm]u_iv_i; -u_iv_j; -u_jv_i; u_jv_j.
[/mm]
>
> Wie fasst du die denn jetzt genau zusammen?
> Wie gehst du denn danach vor?
>
> Irgendwie bleibe ich bei dieser Aufgabe immer wieder
> hängen. Da merkt man das man über anderthalb Jahre kein
> Mathe gemacht hat.
> Aber meinen Komilitonen geht es nicht anders. Aber zum
> Glück gibt es ja Hilfe im Netz!
Es gilt doch:
[m]\sum_{i,j=1}^n (u_i - u_j)(v_i - v_j)=\sum_{i,j=1}^n (u_iv_i-u_iv_j-u_jv_i+u_jv_j)[/m]
[m]=\left(\sum_{i,j=1}^n u_iv_i\right)-\left(\sum_{i,j=1}^n u_iv_j\right)-\left(\sum_{i,j=1}^n u_jv_i\right)+\left(\sum_{i,j=1}^n u_jv_j\right)[/m]
[m]=\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_i\right)-\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_j\right)-\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_jv_i\right)+\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_jv_j\right)[/m]
Nun gilt aber:
1.) [m]\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_i=n*\sum_{i=1}^nu_iv_i[/m] (Schreibe diese Summe mal aus:
[m]\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_i=\underbrace{u_1v_1+u_1v_1+...+u_1v_1}_{n-mal}+\underbrace{u_2v_2+u_2v_2+...+u_2v_2}_{n-mal}+...+\underbrace{u_nv_n+u_nv_n+...+u_nv_n}_{n-mal}[/m].
Das [m]n-mal[/m] steht jeweils darunter, weil $j$ von $1$ bis $n$ läuft!)
2.) [m]\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_jv_j=n*\sum_{i=1}^nu_iv_i[/m]
(Wieder ausgeschrieben:
[m]\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_jv_j[/m]
[m]=(u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n)[/m]
[m]+(u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n)[/m]
[m]+(u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n)[/m]
.
.
.
[m]+(u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n)[/m]
[m]=n*u_1v_1+n*u_2v_2+...+n*u_nv_n[/m]
[m]=n*\sum_{i=1}^nu_iv_i[/m])
3.) [m]\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_jv_i=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n u_jv_i\,(=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_j)[/m]
Warum? Auschreiben:
[m]\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_jv_i[/m]
[m]=u_1v_1+u_2v_1+...+u_nv_1[/m]
[m]+u_1v_2+u_2v_2+...+u_nv_2[/m]
[m]+u_1v_3+u_2v_3+...+u_nv_3[/m]
.
.
.
[m]+u_1v_n+u_2v_n+...+u_nv_n[/m]
[m]=u_1v_1+u_1v_2+...+u_1v_n[/m]
[m]+u_2v_1+u_2v_2+...+u_2v_n[/m]
[m]+u_3v_1+u_2v_2+...+u_3v_n[/m]
.
.
.
[m]+u_nv_1+u_nv_2+...+u_nv_n[/m]
[m]=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n u_jv_i[/m]
[m]\stackrel{i\,\, und \,\,j\,\, vertauschen}{=}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_j[/m]
Benutzt wurde hier immer das Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz.
Mit 1.), 2.) und 3.) folgt dann:
[m]\sum_{i,j=1}^n (u_i - u_j)(v_i - v_j)=\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_i\right)-\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_j\right)-\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_jv_i\right)+\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_jv_j\right)[/m]
[m]=2n*\left(\sum_{i=1}^nu_iv_i\right)-2*\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_j[/m]
[m]=2n*\left(\sum_{i=1}^nu_iv_i\right)-2*\sum_{i,j=1}^nu_iv_j[/m]
So, leider hat Lars jetzt nach dem letzten Gleichheitszeichen ein [m]i\not=j[/m] unter dem zweiten Summenzeichen stehen, ich weiß nicht, warum? Hoffentlich interpretiere ich das Zeichen:
[m]\sum_{i,j=1}^n[/m] richtig als [m]\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[/m] und habe auch sonst keine Fehler gemacht???
Falls doch, dürfen die gerne korrigiert werden!
Liebe Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:56 Di 19.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
[m]\sum_{i,j=1}^n (u_i - u_j)(v_i - v_j)=\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_i\right)-\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_j\right)-\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_jv_i\right)+\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_jv_j\right)[/m]
[m]=2n*\left(\sum_{i=1}^nu_iv_i\right)-2*\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n u_iv_j[/m]
[m]=2n*\left(\sum_{i=1}^nu_iv_i\right)-2*\sum_{i,j=1}^nu_iv_j[/m]
> So, leider hat Lars jetzt nach dem letzten Gleichheitszeichen ein
> [m]i\not=j[/m] stehen, ich weiß nicht, warum? Hoffentlich interpretiere ich > das Zeichen:
> [m]\sum_{i,j=1}^n[/m] richtig als [m]\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[/m]
> und habe auch sonst keine Fehler gemacht???
Ich glaube, ich weiß jetzt, warum:
Lars meinte wohl:
[m]\sum_{i,j=1}^n (u_i - u_j)(v_i - v_j)=\sum_{\stackrel{i,j=1}{i\not=j}}^n (u_i - u_j)(v_i - v_j)=2(n-1)*\left(\sum_{i=1}^nu_iv_i\right)-2*\sum_{\stackrel{i,j=1}{i\not=j}}^nu_iv_j[/m]
Hm, ein kleiner Fehler von Lars? Oder habe ich mich verrechnet (ist eigentlich wahrscheinlicher; aber dann: wo?)? Ist mir nun zu spät, das zu prüfen, aber wenn jemand mag, kann er/sie das ganze ja mal z.B. mit n=2 prüfen, ob das nun so passt!
Liebe Grüße
Marcel
|
|
|
|
