"Beweis" durch Matrixumformung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Argot |
| Aufgabe | | Es seien a, b, c in [mm] R^3. [/mm] Zeigen Sie: a [mm] \times [/mm] (b [mm] \times [/mm] c) = <a,c>b - <a,b>c |
Ich zeige Euch nun meinen Ansatz. Ich habe zuerst definiert:
a = [mm] \vektor{a_1\\a_2\\a_3}, [/mm] b = [mm] \vektor{b_1\\b_2\\b_3}, [/mm] c = [mm] \vektor{c_1\\c_2\\c_3}
[/mm]
Nun versuche ich mich am Beweis (damit es einfacher zu tippen ist, schreibe ich nun ax statt [mm] a_x):
[/mm]
a [mm] \times [/mm] (b [mm] \times [/mm] c) = a [mm] \times (\vektor{b_1\\b_2\\b_3} \times \vektor{c_1\\c_2\\c_3}) [/mm] = [mm] \vektor{a_1\\a_2\\a_3} \times \vektor{b2c3-b3c2\\b1c3-b3c1\\b1c2-b2c1} [/mm] = [mm] \vektor{a2(b1c2-b2c1)-a3(b1c3-b3c1)\\a1(b1c2-b2c1)-a3(b2c3-b3c2)\\a1(b1c3-b3c1)-a2(b2c3-b3c2)}
[/mm]
sowie
<a,c>b - <a,b>c = (a1c1+a2c2+a3c3)b - (a1b1 + a2b2 + a3b3)c = [mm] \vektor{a1c1b1 +a2c2b1 +a3c3b1 \\ a1c1b2+a2c2b2+a3c3b2 \\ a1c1b3+a2c2b3+a3c3b3} [/mm] - [mm] \vektor{a1b1c1+a2b2c1+a3b3c1 \\ a1b1c2+a2b2c2+a3b3c2 \\ a1b1c3+a2b2c3+a3b3c3}
[/mm]
Bei beiden Umformungen müsste nun ein identisches Ergebnis stehen. Die erste Zeile der Matrizen ist identisch, bei der zweiten ist [mm] a_3 [/mm] und bei der dritten [mm] a_1 [/mm] Vorzeichenfalsch. Ist die Aufgabe bis auf diesen Fehler korrekt?
Mein Dozent sprach von einem "Schachbrett" (VZ abwechselnd) bei Matrizen - muss ich das "Vorzeichen-Schachbrettmuster" in die Umformung einbauen (bzw. wie lautet die Regel hierfür?)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien a, b, c in [mm]R^3.[/mm] Zeigen Sie: a [mm]\times[/mm] (b [mm]\times[/mm] c)
> = <a,c>b - <a,b>c
> Ich zeige Euch nun meinen Ansatz. Ich habe zuerst
> definiert:
>
> a = [mm]\vektor{a_1\\
a_2\\
a_3},[/mm] b = [mm]\vektor{b_1\\
b_2\\
b_3},[/mm] c =
> [mm]\vektor{c_1\\
c_2\\
c_3}[/mm]
>
> Nun versuche ich mich am Beweis (damit es einfacher zu
> tippen ist, schreibe ich nun ax statt [mm]a_x):[/mm]
>
> a [mm]\times[/mm] (b [mm]\times[/mm] c) = a [mm]\times (\vektor{b_1\\
b_2\\
b_3} \times \vektor{c_1\\
c_2\\
c_3})[/mm]
> = [mm]\vektor{a_1\\
a_2\\
a_3} \times \vektor{b2c3-b3c2\\
\red{(-1)*}(b1c3-b3c1)\\
b1c2-b2c1}[/mm]
Was rechnest du da überhaupt?
[mm]\vec{a}\times\vec{b}
=
\begin{pmatrix}a_1 \\
a_2 \\
a_3\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}b_1 \\
b_2 \\
b_3 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_2b_3 - a_3b_2 \\
a_3b_1 - a_1b_3 \\
a_1b_2 - a_2b_1
\end{pmatrix}\,[/mm]
So viel Tipparbeit ist das auch nicht.
> =
> [mm]\vektor{a2(b1c2-b2c1)-a3(b1c3-b3c1)\\
a1(b1c2-b2c1)-a3(b2c3-b3c2)\\
a1(b1c3-b3c1)-a2(b2c3-b3c2)}[/mm]
>
> sowie
>
> <a,c>b - <a,b>c = (a1c1+a2c2+a3c3)b - (a1b1 + a2b2 + a3b3)c
> = [mm]\vektor{a1c1b1 +a2c2b1 +a3c3b1 \\
a1c1b2+a2c2b2+a3c3b2 \\
a1c1b3+a2c2b3+a3c3b3}[/mm]
> - [mm]\vektor{a1b1c1+a2b2c1+a3b3c1 \\
a1b1c2+a2b2c2+a3b3c2 \\
a1b1c3+a2b2c3+a3b3c3}[/mm]
>
> Bei beiden Umformungen müsste nun ein identisches Ergebnis
> stehen. Die erste Zeile der Matrizen ist identisch, bei der
> zweiten ist [mm]a_3[/mm] und bei der dritten [mm]a_1[/mm] Vorzeichenfalsch.
> Ist die Aufgabe bis auf diesen Fehler korrekt?
>
> Mein Dozent sprach von einem "Schachbrett" (VZ abwechselnd)
> bei Matrizen - muss ich das "Vorzeichen-Schachbrettmuster"
> in die Umformung einbauen (bzw. wie lautet die Regel
> hierfür?)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Argot |
Vielen Dank wieschoo für die Korrektur und Angabe des korrekten Schemas.
Liebe Grüße!
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