Beweis des Vektorprodukts < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen sie folgenden Satz:
Für 2 Vektoren [mm] \vec{a}= \vektor{ax \\ay\\az} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vektor{bx \\by \\bz} [/mm] ist [mm] aXb=\vektor{ay*bz - az*by\\ az*bx - ax*bz\\ ax*by - ay*bx} [/mm] |
[mm] \vec{a}= [/mm] ax*ex + ay*ey + az*ez
[mm] \vec{b}= [/mm] .......
aXb ist Vektor, der senkrecht auf a und b steht
|aXb| = [mm] |\vec{c}|= |a|*|b|*sin(\alpha)
[/mm]
Komme da aber mit meinen Lösungsansätzen auf keinen vernünftigen Weg,
denke es geht irgendwie über die Einheitsvektoren. aber so wirklich weiter komme ich nicht
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> Beweisen sie folgenden Satz:
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> Für 2 Vektoren [mm]\vec{a}= \vektor{ax \\ay\\az}[/mm] und
> [mm]\vec{b}=\vektor{bx \\by \\bz}[/mm] ist [mm]aXb=\vektor{ay*bz - az*by\\ az*bx - ax*bz\\ ax*by - ay*bx}[/mm]
Gilt nur, sofern die Basis [mm] $\vec{e}_{x,y,z}$ [/mm] orthonormiert ist.
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> [mm]\vec{a}=[/mm] ax*ex + ay*ey + az*ez
> [mm]\vec{b}=[/mm] .......
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> aXb ist Vektor, der senkrecht auf a und b steht
> |aXb| = [mm]|\vec{c}|= |a|*|b|*sin(\alpha)[/mm]
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> Komme da aber mit meinen Lösungsansätzen auf keinen
> vernünftigen Weg,
> denke es geht irgendwie über die Einheitsvektoren. aber so
> wirklich weiter komme ich nicht
Das Vektorprodukt ist linear in beiden Argumenten, also kannst Du so beginnen:
[mm]\begin{array}{lcll}
\vec{a}\times \vec{b} &= & \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}\\
&=& \big(a_x\vec{e}_x+a_y\vec{e}_y+a_z\vec{e}_z\big)\times \big(b_x\vec{e}_x+b_y\vec{e}_y+b_z\vec{e}_z\big)& \text{ausmultiplizieren}\\
&=& \phantom{+} a_x b_x\vec{e}_x\times \vec{e}_x+a_x b_y\vec{e}_x\times\vec{e}_y+a_x b_z\vec{e}_x\times\vec{e}_z\\
&& + a_y b_x\vec{e}_y\times\vec{e}_x+a_y b_y\vec{e}_y\times\vec{e}_y+a_y b_z\vec{e}_y\times \vec{e}_z\\
& &+ a_z b_x\vec{e}_z\times\vec{e}_x+a_z b_y\vec{e}_z\times\vec{e}_y+a_z b_z\vec{e}_z\times \vec{e}_z\\
&=&\ldots
\end{array}[/mm]
Nun musst Du noch die verbliebenen Vektorprodukte von zwei Basisvektoren vereinfachen (ergibt jeweils entweder [mm] $\pm$ [/mm] den dritten Basisvektor oder den Nullvektor) und alle Vielfachen desselben Basisvektors zusammenfassen. Anschliessend wieder zur Koordinatendarstellung übergehen.
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