Beweis der Subaddivität < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:33 So 04.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | b) Die Funktion f ist subadditiv, d.h. für alle x,y [mm] \ge [/mm] 0 gilt
f(x+y) [mm] \ge [/mm] f(x) + f(y)
Folgern Sie hieraus außerdem die Richtigkeit von [mm] \bruch{|x-y|}{1+|x-y|} \le \bruch{|x|}{|1+x|} [/mm] + [mm] \bruch{|y|}{|1+y|}, \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] |
Meine Fragen zu Aufgabe 7 bestehen noch, aber ich hätte jetzt eine Nachfrage zum zweiten Teil von 6b)
Ich habe es mit einer Fallunterscheidung versucht.
Für x>y>0 kann ich die Betragsstriche weglassen und die Nenner "wegmultiplizieren".
Ich erhalte (x-y)(1+x)(1+y) [mm] \le [/mm] (x+y+2xy)(1+x-y)
Durch Ausmultiplizieren und umformen erhalte ich -x²y+xy²-2xy-2y [mm] \le [/mm] 0
Durch Umformung erhalte ich xy² [mm] \le [/mm] x²y+2xy+2y.
Da x>y, ist diese Aussage richtig.
Am zweiten Fall arbeite ich gerade noch, würde aber gerne wissen ob mein Ansatz und meine Schlussfolgerung richtig sind.
Update:
Beim zweiten Fall, nämlich y>x>0 komme ich nicht weiter. Der Betrag von x-y ist bekanntlich y-x, da |x-y| = -(x-y) = -(-y+x) = y-x gilt. Dies setze ich ein und beim umformen kommt folgender Humbug raus, den ich nicht verwerten kann:
2x²+3x²y-3xy²-y²+2xy+2x+2y [mm] \ge [/mm] 0
Grüße und Danke im voraus,
zjay
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