Beweis der Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Fr 15.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
| Aufgabe | Zeigen Sie :
Ist die Funktion y = g(x) auf [−1, 1] definiert und beschränkt, so ist die Funktion
y = h(x) = x * g(x)
in x = 0 stetig.
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Hallo!
Ich habe nun so Argumentiert, dass:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} h(x)=\limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] x * [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] g(x) = 0 = h(0)
Dies ist auch erfüllt wenn der Limes g(x) gar nicht existiert.
Ist diese Argumentation richtig?
Danke und gruß Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Fr 15.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie :
> Ist die Funktion y = g(x) auf [−1, 1] definiert und
> beschränkt, so ist die Funktion
> y = h(x) = x * g(x)
> in x = 0 stetig.
>
> Hallo!
>
> Ich habe nun so Argumentiert, dass:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} h(x)=\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] x *
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] g(x) = 0 = h(0)
So kannst Du das nicht schreiben, denn Du sagst doch selbst, dass
der Limes von g nicht existiert.
>
> Dies ist auch erfüllt wenn der Limes g(x) gar nicht
> existiert.
>
> Ist diese Argumentation richtig?
Na ja, wo hast Du denn die Beschränktheit von g verbraten ?
Verschaffe Dir ein c > 0 mit $|g(x)| [mm] \le [/mm] c$ für jedes x [mm] \in [/mm] [−1, 1] und schätze geeignet ab
$|h(x)| [mm] \le [/mm] ??$ für jedes x [mm] \in [/mm] [−1, 1]
FRED
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> Danke und gruß Johann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Fr 15.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
Hallo!
Danke für die schnelle Antwort!
Leider komme ich da nicht ganz mit
> Verschaffe Dir ein c > 0 mit [mm]|g(x)| \le c[/mm] für jedes x [mm]\in[/mm]
> [−1, 1] und schätze geeignet ab
>
> [mm]|h(x)| \le ??[/mm] für jedes x [mm]\in[/mm] [−1, 1]
c, kann ja beliebig groß sein, also ist
[mm] |h(x)| [mm] \le [/mm] x*c
aber wie kann man daraus auf stetigkeit in x=0 schließen?
Etwa mit dem Zwischenwertsatz? Sorry aber ich steh voll auf dem Schlauch...
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> Hallo!
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Hallo!
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Leider komme ich da nicht ganz mit
>
> > Verschaffe Dir ein c > 0 mit [mm]|g(x)| \le c[/mm] für jedes x [mm]\in[/mm]
> > [−1, 1] und schätze geeignet ab
> >
> > [mm]|h(x)| \le ??[/mm] für jedes x [mm]\in[/mm] [−1, 1]
>
> c, kann ja beliebig groß sein, also ist
> [mm]|h(x)| [mm]\le[/mm] x*c
c ist aber für jeden Funktion g eine feste Zahl.
> aber wie kann man daraus auf stetigkeit in x=0 schließen?
> Etwa mit dem Zwischenwertsatz? Sorry aber ich steh voll auf dem
> Schlauch...
Was passiert denn wenn du x gegen Null schickst? Was ist dann mit h?
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Fr 15.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
Hallo!
dann geht h(x) auch gegen 0
Könnte man aber nicht auch so argumentieren:
[mm] h(x)=h(\limes_{x\rightarrow\ 0}x*g(x)) [/mm] =h(0)
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jogi!
> Könnte man aber nicht auch so argumentieren:
> [mm]h(x)=h(\limes_{x\rightarrow\ 0}x*g(x))[/mm] =h(0)
Nein, denn das würde die Stetigkeit von $h(x)_$ voraussetzen. Und das ist nicht gegeben ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 So 17.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
Verschaffe Dir ein c > 0 mit $ |g(x)| [mm] \le [/mm] c $ für jedes x $ [mm] \in [/mm] $ [−1, 1] und schätze geeignet ab:
$ |h(x)| [mm] \le [/mm] c|x| $ für jedes x $ [mm] \in [/mm] $ [−1, 1]
Klingelt es ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 So 24.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Also ich wäre KOMPLETT anders an diese Aufgabe herangegangen, habe sie auch gelöst (?), bin mir aber nicht sicher, ob das so richtig ist?
Mein Lösungsansatz ist folgender:
zu Zeigen: h(x) = x*g(x) stetig in x= 0 für x [mm] \in [/mm] [-1,1].
also: aus |x-0|= |x| (liegt zwischhen 0 und 1) < [mm] \delta [/mm] muss folgen: |h(x)-h(0)| = |x*g(x) - 0*g(0)|= |x*g(x)| < [mm] \varepsilon. [/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] = 2*g(x). Und [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2*g(x)}{2}. [/mm] Denn dann gilt für beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] > 0: für |x| < [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{ \varepsilon }{ 2 } [/mm] folgt: |h(x) - h(0)| = |x*g(x)| < [mm] |\bruch{\varepsilon}{2}*g(x)| [/mm] = [mm] |\bruch{2*g(x)}{2}*g(x)|= |g^2(x)|.
[/mm]
Ist das richtig so?
lG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 So 24.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
g(x) in [-1,1] beschränkt heiist dich einfach, [mm] g(x)\le [/mm] c für alle x aus dem Intervall, das hat man dir nun so oft gesagt5, warum benutzt du es nicht einfach so, ohne dein recht umständliches drumrumgerede.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:18 So 24.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
hallo,
nur 2 kleine Anmerkungen:
1. ICH habe die Frage NICHT gestellt, ich habe gerade eben die Diskussion (Frage & Antworten) durchgelesen - anscheinend nicht gründlich genug.
Und 2.: Tut mir Leid, ich dachte "beschränkt in [-1,1]" bedeutet, dass die Funktion für die x-Werte im Intervall [-1,1] beschränkt ist, dass sie also durchaus beliebig groß werden kann, nur nicht gegen Unendlich gehen. Da habe ich mich gründlich geirrt. Wenn g(x) tatsächlich höchstens 1 werden kann, ist die Aufgabe ja ehrlich gesagt so lächerlich einfach, dass sie garnicht der Rede wert ist.
Ach ja: eigentlich würde es mich schon interessieren, ob mein Ansatz für meine "Version"/Auffassung von der Angabe richtig wäre, bzw. ob das dann überhaupt funktionieren kann? Vermutlich eher nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 So 24.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
> Also ich wäre KOMPLETT anders an diese Aufgabe
> herangegangen, habe sie auch gelöst (?), bin mir aber
> nicht sicher, ob das so richtig ist?
>
> Mein Lösungsansatz ist folgender:
> zu Zeigen: h(x) = x*g(x) stetig in x= 0 für x [mm]\in[/mm]
> [-1,1].
> also: aus |x-0|= |x| (liegt zwischhen 0 und 1) < [mm]\delta[/mm]
> muss folgen: |h(x)-h(0)| = |x*g(x) - 0*g(0)|= |x*g(x)| <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
Damit bist du ja schon fast fertig:
Sei [mm] \delta [/mm] > 0 mit [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
|h(x)-h(0)| = |x*g(x) - 0*g(0)|= |x*g(x)|
Nun benutzt du die Bedingung, dass g(x) [mm] \le [/mm] 1 für alle x und kannst damit abschätzen:
|h(x)-h(0)| = |x*g(x) - 0*g(0)|= |x*g(x)| [mm] \le [/mm] |x| < [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
fertig
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