Beweis der Kontraktivität < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Fr 01.06.2007 | | Autor: | niemand |
| Aufgabe | i) Beweisen Sie das die Funktion
[mm] f:[0,\infty[ [/mm] -> [mm] [0,\infty[, [/mm] f(x)= (x+1/2) / (x+1)
strikt kontraktiv ist.
ii) Fixpunkt berechnen
iii) 5 Glieder für x0 = 0 als Startwert berechnen [mm] (x_j+1 [/mm] = [mm] f(x_j))
[/mm]
iv) Vergleichen Sie jeweils den Abstand der Approximation [mm] x_5 [/mm] vom Fixpunkt mit seiner a-priorie Abschrätzung und seiner a-posteriori Abschrätzung. |
Mein generelles Problem ist zum einen den Fixpunkt genau zu bestimmen.
Das nächste problem ist das ich den Beweis habe und ein c gefunden habe als Kontraktionsvariable jedoch die Abschätzungen überhaupt nicht ok sind.
Mein Beweis der Kontraktivität sieht so aus:
f ist kontraktiv [mm] \gdw [/mm] |f(x)-f(y)| <= c|x-y| [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [0,\infty[ [/mm] mit c [mm] \in [/mm] [0,1[
Mit hilfe der unteren Dreiecksungleichung die so aussieht
||a|-|b|| <= |a-b|
gilt folgendes
||(x+1/2)/(x+1)| - |(y+1/2)/(y+1)|| <= |(x+1/2)/(x+1) - (y+1/2)/(y+1)|
wobei
|(x+1/2)/(x+1) - (y+1/2)/(y+1)| = 1/2 |(2x+1)/(x+1) - (2y+1)/(y+1)|=1/2|x-y| ist
daher gilt
||(x+1/2)/(x+1)| - |(y+1/2)/(y+1)|| <= 1/2|x-y|
q.e.d.
c = 1/2
Soh nun habe ich die Folge mitglieder ausgerechnet
[mm] x_0 [/mm] = 0 ; [mm] x_1 [/mm] = 1/2 ; [mm] x_2 [/mm] = 2/3 ; [mm] x_3 [/mm] = 7/10 ; [mm] x_4 [/mm] = 12/17 ; [mm] x_5 [/mm] = 6/29
die sind korrekt. ist ja schließlich nur einsetzen
Jetzt die Abschrätzungen
A-Priorie [mm] c^5 [/mm] / (1-c) * [mm] |x_1 [/mm] - [mm] x_0| [/mm] = 0,0625*1/2 = 0,03125
A-Posteriorie c / (1-c) * [mm] |x_5 [/mm] - [mm] x_4| [/mm] = 246 / 493 = 0,499
Soh [mm] x_5 [/mm] ist 0,2 und um größenordnungen anders als die Abschätzungen des Fixpunktes. Zumals wenn ich [mm] x_0 [/mm] bei 1 beginne oder bei 100 komme ich immer auf einen Fixpunkt der bei 0,7 liegt. Das haut überhaupt nicht hin wie kommt das? Ist das korrekt oder habe ich einen Fehler beim c - sprich beim Beweis der Kontraktivität?
Beim Fixpunktsatz habe ich schon versucht Newton anzuwenden mit der Folgenden Formel
[mm] x_n+1 [/mm] = [mm] x_n [/mm] - f(x) / f'(x) = [mm] x_n [/mm] - [mm] ((x+1/2)2(x+1)^2) [/mm] / x+1
jedoch geht das immer schon beim 3ten Glied gegen sehr große Zahlen und konvergiert nicht. Meine benutzten Startwerte waren 0,1,100
Wäre echt toll wenn mir jemand einen Tip für die Fixpunkt berechnung geben könnte, und dann ob der Beweis und die Kontraktionsvariable korrektsind mit Abschätzung?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Fr 01.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> i) Beweisen Sie das die Funktion
> [mm]f:[0,\infty[[/mm] -> [mm][0,\infty[,[/mm] f(x)= (x+1/2) / (x+1)
> strikt kontraktiv ist.
> ii) Fixpunkt berechnen
> iii) 5 Glieder für x0 = 0 als Startwert berechnen [mm](x_j+1[/mm] =
> [mm]f(x_j))[/mm]
> iv) Vergleichen Sie jeweils den Abstand der Approximation
> [mm]x_5[/mm] vom Fixpunkt mit seiner a-priorie Abschrätzung und
> seiner a-posteriori Abschrätzung.
> Mein generelles Problem ist zum einen den Fixpunkt genau
> zu bestimmen.
> Das nächste problem ist das ich den Beweis habe und ein c
> gefunden habe als Kontraktionsvariable jedoch die
> Abschätzungen überhaupt nicht ok sind.
>
> Mein Beweis der Kontraktivität sieht so aus:
> f ist kontraktiv [mm]\gdw[/mm] |f(x)-f(y)| <= c|x-y| [mm]\forall[/mm] x,y
> [mm]\in [0,\infty[[/mm] mit c [mm]\in[/mm] [0,1[
> Mit hilfe der unteren Dreiecksungleichung die so aussieht
> ||a|-|b|| <= |a-b|
> gilt folgendes
> ||(x+1/2)/(x+1)| - |(y+1/2)/(y+1)|| <= |(x+1/2)/(x+1) -
> (y+1/2)/(y+1)|
> wobei
> |(x+1/2)/(x+1) - (y+1/2)/(y+1)| = 1/2 |(2x+1)/(x+1) -
> (2y+1)/(y+1)|=1/2|x-y| ist
> daher gilt
> ||(x+1/2)/(x+1)| - |(y+1/2)/(y+1)|| <= 1/2|x-y|
> q.e.d.
> c = 1/2
>
> Soh nun habe ich die Folge mitglieder ausgerechnet
> [mm]x_0[/mm] = 0 ; [mm]x_1[/mm] = 1/2 ; [mm]x_2[/mm] = 2/3 ; [mm]x_3[/mm] = 7/10 ; [mm]x_4[/mm] = 12/17
> ; [mm]x_5[/mm] = 6/29
> die sind korrekt. ist ja schließlich nur einsetzen
Anscheinend nicht, [mm] x_{5} [/mm] ist doch völlig daneben!
> Jetzt die Abschrätzungen
> A-Priorie [mm]c^5[/mm] / (1-c) * [mm]|x_1[/mm] - [mm]x_0|[/mm] = 0,0625*1/2 =
> 0,03125
> A-Posteriorie c / (1-c) * [mm]|x_5[/mm] - [mm]x_4|[/mm] = 246 / 493 = 0,499
> Soh [mm]x_5[/mm] ist 0,2 und um größenordnungen anders als die
> Abschätzungen des Fixpunktes. Zumals wenn ich [mm]x_0[/mm] bei 1
> beginne oder bei 100 komme ich immer auf einen Fixpunkt der
> bei 0,7 liegt. Das haut überhaupt nicht hin wie kommt das?
Den Fixpunkt kann man doch ganz einfach direkt bestimmen, indem man f(x) = x löst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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