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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:44 Do 13.07.2006 | | Autor: | HOST |
Hallo Ihr Lieben,
ich habe mir die letze Nacht mit dem folgenden Beweis versüßt und wie das bei nächtlichen geistigen Aktivitäten manchmal so ist, bin ich mit dem Ergebnis nicht so richtig zufrieden. Ich bräuchte einfach mal ein geübtes Auge, welches meine Argumentation prüft.
Nun zur Aufgabe:
Es seien die folgenden Relationen [mm] $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ [/mm] als Teilmenge des Kreutzproduktes aus den Mengen B und A gegeben.
Zwischen den Relationen bestehen folgende Zusammenhänge:
[mm] $R_2 \sqcap R_3 \sqcap R_4 [/mm] = [mm] \oslash$ [/mm]
[mm] $R_2 \sqcup R_3 \sqcup R_4 \subseteq R_1$ [/mm]
Beweise, das die folgende Aussage stimmt:
[mm] $A_1 \cap A_2 [/mm] = [mm] \oslash$
[/mm]
mit [mm] $A_1 [/mm] := [mm] \bigvee \limits_{b_k \in B} \bigvee \limits_{b_l \in B} \{ [(b_k,a_i)\in R_{1}] \wedge
[(b_k,a_i,t)\in R_{2} \vee (b_k,a_i)\in R_{3}] \; \vee
[(b_l,a_i)\in R_{1}] \wedge [(b_k,a_i)\in R_{4} \wedge (b_l,a_i)\notin R_{1} ]\}$ [/mm]
[mm] \mbox{mit } $b_k \neq b_l$
[/mm]
mit [mm] $A_2 [/mm] := [mm] \bigwedge \limits_{b \in B} \{(b,a_i)\in R_{1} \wedge (b,a_i)\in R_{4}\}$
[/mm]
Was sich umformen läßt in:
[mm] $\bigvee \limits_{b_k \in B} \{ [(b_k,a_i)\in R_{1}] \wedge
[(b_k,a_i)\in R_{2} \vee (b_k,a_i)\in R_{3}]\} \vee [/mm]
[mm] \bigvee \limits_{b_k \in B}& \{(b_k,a_i)\in R_{1} \wedge (b_k,a_i)\in R_{4}\} [/mm]
[mm] \wedge [/mm]
[mm] \bigvee \limits_{b_l \in B} \{(b_l,a_i)\in R_{1} \wedge(b_l,a_i)\notin R_{4} \} [/mm]
[mm] \wedge [/mm]
[mm] \mbox{mit } b_k \neq b_l
[/mm]
[mm] \bigwedge \limits_{b \in B} \{(b,a_i)\in R_{1} \wedge (b,a_i)\in R_{4}\}$
[/mm]
Durch Anwendung der Distributivität von [mm] \vee [/mm] und [mm] \wedge [/mm] kann der Nachweis in zwei Teilen geführt werden.
[mm] \\ \\
[/mm]
I. Teil
[mm] \bigvee \limits_{b \in B} \{ [(b,a_i)\in R_{1}] \; \wedge
[(b,a_i)\in R_{2} \vee (b,a_i)\in R_{3}] \}
[/mm]
[mm] \wedge [/mm]
[mm] \bigwedge \limits_{b \in B} \{(b,a_i)\in R_{1} \wedge (b,a_i) \in R_{4}\}
[/mm]
Was sich durch Zusammenfassung der beiden Terme und Eliminierung des Existenzquantors zu folgendem Umformen läßt:
[mm] \bigwedge \limits_{b \in B} \{ [(b,a_i)\in R_{1}] \; \wedge
[(b,a_i)\in R_{2} \vee (b,a_i)\in R_{3}]
\wedge
(b,a_i)\in R_{4}\} [/mm]
Durch die Anwendung der Gleichung [mm] R_2 \sqcap R_3 \sqcap R_4 [/mm] = [mm] \oslash [/mm] gilt:
[mm] \bigwedge \limits_{b \in B} \{ [(b,a_i)\in R_{2} \vee (b,a_i)\in R_{4}] \Rightarrow [(b,a_i)\notin R_{4}]\}
[/mm]
Hierbei stellen die obigen Ausdrücke einen Widerspruch dar, womit die obige Annahme widerlegt ist.
[mm] \\ \\
[/mm]
II. Teil
[mm] \bigvee \limits_{b_l \in B} \{ [(b_l,a_i)\in R_{1}] \wedge [(b_l,a_i)\in R_{4}]\} \wedge
[/mm]
[mm] \bigvee \limits_{b_k \in B} \{[(b_k,a_i)\in R_{1}] \wedge (b_k,a_i)\notin R_{4} ]\} [/mm]
[mm] \wedge [/mm]
[mm] \bigwedge \limits_{b \in B} [/mm] & [mm] \{(b,a_i)\in R_{1} \wedge (b,a_i)\in R_{4}\}
[/mm]
Hierin ist der Widerspruch offensichtlich, da es kein $b$ gibt, welches die Bedingungen des zweiten und dritten Terms erfüllt, was die zugrunde liegende Annahme widerlegt.
[mm] \\ \\
[/mm]
Da beide Teile der oben getroffenen Annahme widerlegt wurden, ist die getroffene Annahme grundsätzlich widerlegt und damit der Nachweis geführt.
Habt vielen Dank
Stephan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 16.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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