Beweis Wurzel 20 irrational < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Keine explizite Fragestellung. |
Guten Abend.
Ich wiederhole derzeitig Mathestoff für die Uni und bin nun auf folgenden Beweis gestoßen:
[mm] \wurzel{20} [/mm] sei irrational
Den Beweis mit [mm] \wurzel{2} [/mm] habe ich verstanden.
Bei [mm] \wurzel{20} [/mm] habe ich jedoch ein kleines Problem:
Zunächst geht man ja davon aus, dass [mm] \wurzel{20} [/mm] rational sei.
Wir wollen schließlich einen Wierspruchsbeweis durchführen.
Daher gilt: [mm] \wurzel{20}=\bruch{p}{q}
[/mm]
Vorrausetzung hierbei ist ja, dass p und q teilerfremd sind d.h ihr ggT=1 ist.
[mm] 20=\bruch{p^2}{q^2}
[/mm]
[mm] 20*q^2=p^2
[/mm]
Daraus ergibt sich, dass [mm] p^2 [/mm] durch 20 teilbar ist, wie auch [mm] q^2 [/mm] durch 20 teilbar ist.
20 lässt sich in Primfaktoren zerlegen.
[mm] 20=5*2^2 \Rightarrow 2*2*5*q^2=p^2
[/mm]
D.h, dass sowohl [mm] q^2, [/mm] als auch [mm] p^2 [/mm] sich durch 2;4;5 teilen lassen.
Dies sind jedoch die Quadrate von p und q, jenen Variablen, die wir zu einem Widerspruch führen müssen.
Nun steht in dem Buch, dass ich lese, dass in der Primfaktorzerlegung von p, der Faktor 5 mindestens einmal vorkommen muss in [mm] p^2, [/mm] daraus folgend mindestens zweimal.
Und dieser Schritt ist es, den ich nicht wirklich verstehe. Warum kann man aus [mm] 5*2^2*q^2=p^2 [/mm] folgern, dass in der Primfaktorzerlgung von p 5 ein Faktor ist.
[mm] p^2 [/mm] lässt sich auf jeden Fall durch 5 teilen.
D.h, dass es eine Zahl k gibt, die mit 5 [mm] multipliziert=p^2 [/mm] ergibt.
[mm] k*5=p^2
[/mm]
Demnach würde ja daraus: [mm] \wurzel(k*5)=p [/mm] folgen.
Ich sehe hier jedoch nicht, dass in p mindestens eine 5 Primfaktor sein muss.
Könnt ihr mir helfen?
Danke im Voraus. :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 So 17.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Keine explizite Fragestellung.
> Guten Abend.
>
> Ich wiederhole derzeitig Mathestoff für die Uni und bin
> nun auf folgenden Beweis gestoßen:
>
> [mm]\wurzel{20}[/mm] sei irrational
>
> Den Beweis mit [mm]\wurzel{2}[/mm] habe ich verstanden.
>
> Bei [mm]\wurzel{20}[/mm] habe ich jedoch ein kleines Problem:
>
>
> Zunächst geht man ja davon aus, dass [mm]\wurzel{20}[/mm] rational
> sei.
> Wir wollen schließlich einen Wierspruchsbeweis
> durchführen.
>
> Daher gilt: [mm]\wurzel{20}=\bruch{p}{q}[/mm]
> Vorrausetzung hierbei ist ja, dass p und q teilerfremd
> sind d.h ihr ggT=1 ist.
>
> [mm]20=\bruch{p^2}{q^2}[/mm]
> [mm]20*q^2=p^2[/mm]
>
> Daraus ergibt sich, dass [mm]p^2[/mm] durch 20 teilbar ist,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wie auch
> [mm]q^2[/mm] durch 20 teilbar ist.
Nein, warum sollte das gelten?
> 20 lässt sich in Primfaktoren zerlegen.
> [mm]20=5*2^2 \Rightarrow 2*2*5*q^2=p^2[/mm]
> D.h, dass sowohl [mm]q^2,[/mm]
> als auch [mm]p^2[/mm] sich durch 2;4;5 teilen lassen.
Warum sollte sich [mm] $q^2$ [/mm] durch 4 teilen lassen?
> Dies sind jedoch die Quadrate von p und q, jenen
> Variablen, die wir zu einem Widerspruch führen müssen.
>
> Nun steht in dem Buch, dass ich lese, dass in der
> Primfaktorzerlegung von p, der Faktor 5 mindestens einmal
> vorkommen muss in [mm]p^2,[/mm] daraus folgend mindestens zweimal.
> Und dieser Schritt ist es, den ich nicht wirklich
> verstehe. Warum kann man aus [mm]5*2^2*q^2=p^2[/mm] folgern, dass in
> der Primfaktorzerlgung von p 5 ein Faktor ist.
Nun, $5$ teilt [mm] $p^2$. [/mm] Da 5 ein Primelement in [mm] $\IZ$ [/mm] ist, folgt $5 [mm] \mid [/mm] p$. Deswegen gilt $5 [mm] \cdot [/mm] 5 [mm] \mid [/mm] p [mm] \cdot [/mm] p = [mm] p^2$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für die Antwort.
Der Edit muss sein, da ich gerade etwas auf völlig blödes geschrieben habe. Entschuldigung.
Ich habe vergessen, dass nicht [mm] q^2 [/mm] selbst durch 20 teilbar ist ( es könnte sein, aber man weiß es nicht), sondern eben [mm] 20*q^2. [/mm] Das war ein Leichtstinnsfehler meinerseits.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 17.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Es heißt ja [mm]20*q^2=p^2[/mm]
> Das heißt, dass [mm]p^2[/mm] 20mal so groß ist wie [mm]q^2.[/mm]
> Sollte sich daraus nicht ergeben, dass [mm]p^2[/mm] eben durch
> 20teilbar ist, da [mm]p^2[/mm] ein Produkt zweier Faktoren ist und
> einer dieser Faktoren 20 ist?
Nein, $20$ ist schliesslich keine Primzahl!
Ist etwa $p = 5 [mm] \cdot [/mm] 2 = 10$, so ist [mm] $p^2 [/mm] = 100$ durch 20 teilbar, jedoch $p$ selber nicht.
> Daher habe ich auch geschlussfolgert, dass man [mm]p^2[/mm] durch
> 2,4,5 kann, da diese Faktoren in 20 vorkommen.
Du kannst folgern, dass $p$ durch 2 und 5 teilbar ist und somit durch 10. Du kannst aber nicht folgern, dass $p$ durch 4 teilbar ist, da 4 nicht quadratfrei ist.
> Habe ich einen Denkfehler gemacht?
> Sollte dies der Fall sein, so würde ich auch nicht
> verstehen, warum 5 [mm]p^2[/mm] und p teilen kann.
Der Unterschied ist, dass 5 eine Primzahl ist (oder allgemeiner: quadratfrei), waehrend 20 nicht quadratfrei ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felixf.
Danke für die Geduld und Hilfe.
Jetzt bin ich doch etwas verwirrt.
Ich schreibe doch nirgends etwas von p, sondern von [mm] p^2.
[/mm]
Wenn ich eine beliebige Zahl habe und diese mit 20 multipliziere bspw a*20 so erhalte ich 20a als Produkt.
Ich kann daraus doch schlussfolgern, dass diese Zahl a durch 20 teilbar ist, sowie durch einzelne Faktoren, aus denen sich 20 ergibt.
7*20=140
140:20=7
140:5= 28
140:4= 30
140:2=70
Oder ist das nicht richtig?
Könntest du vllt. den Begriff Primelement für einen Laien definieren, oder die Schlussfolgerung, dass p durch 5 teilbar ist in anderer Weise erklären?
Auf wikipedia wird der Begriff von "kommutativen unitären Ringen" vorrausgesetzt, wobei ich leider nicht wirklich etwas damit anfangen kann.
Danke und viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 So 17.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für die Geduld und Hilfe.
> Jetzt bin ich doch etwas verwirrt.
> Ich schreibe doch nirgends etwas von p, sondern von [mm]p^2.[/mm]
Sorry, ich glaub ich hab dich da etwas missverstanden.
> Wenn ich eine beliebige Zahl habe und diese mit 20
> multipliziere bspw a*20 so erhalte ich 20a als Produkt.
> Ich kann daraus doch schlussfolgern, dass diese Zahl a
> durch 20 teilbar ist, sowie durch einzelne Faktoren, aus
> denen sich 20 ergibt.
Ja, das ist so.
> Könntest du vllt. den Begriff Primelement für einen Laien
> definieren, oder die Schlussfolgerung, dass p durch 5
> teilbar ist in anderer Weise erklären?
Ein Primelement ist ein Element, welches nicht 0 ist und keine Einheit ist (ein Element $a$ heisst Einheit, wenn [mm] $\frac{1}{a}$ [/mm] im Ring ist -- in [mm] $\IZ$ [/mm] sind das $+1$ und $-1$) und wenn es folgende Eigenschaft erfuellt: ist es ein Teiler von einem Produkt $x [mm] \cdot [/mm] y$, so teilt es bereits $x$ oder $y$ (oder beide).
In faktoriellen Ringen [mm] ($\IZ$, [/mm] also die ganzen Zahlen, ist ein faktorieller Ring) sind die Primelemente genau die irreduziblen Elemente, und dies sind in [mm] $\IZ$ [/mm] gerade die Primzahlen (und deren negative).
Fuer eine Primzahl $p$ in [mm] $\IZ$ [/mm] (etwa $p = 5$) gilt also: ist $p$ ein Teiler von $x [mm] \cdot [/mm] y$, so ist $p$ bereits ein Teiler von $x$ oder von $y$.
> Auf wikipedia wird der Begriff von "kommutativen unitären
> Ringen" vorrausgesetzt, wobei ich leider nicht wirklich
> etwas damit anfangen kann.
[mm] $\IZ$ [/mm] ist so ein Ring. Mehr brauchst du erstmal nicht zu wissen :)
LG Felix
|
|
|
|
