Beweis Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 So 23.11.2008 | | Autor: | Mamisch |
| Aufgabe | Es sei V der Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen.
Man zeige, dass
W := {a [mm] \in [/mm] V | [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] a_{n+1} [/mm] }
ein Untervektorraum von V ist, gebe die Basis von W an und bestimmt die Dimension von W. |
Die Prüfung das W (Fibonacci-Folge) ein Untervektorraum von V (alle reellen Zahlenfolgen) ist sollte ja einfach nach den UVR-Kriterien gehen.
Aber wie komme ich bei Bestimmung von Basis und Dimension weiter?
V sollte ja unendlich sein und die Fibonacci-Folge, also W, müsste ja auch unendlich viele Elemente enthalten. Wenn jedes Element von W von, den beiden "vorherigen" Elementen abhängt, müsste die Basis ja auch unendlich groß werden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aber wie komme ich bei Bestimmung von Basis und Dimension
> weiter?
Hallo,
um Dich hier etwas auf Ideen zu bringen, könntest Du mal die ersten sagen wir: 10 Glieder einer Fibonaccifolge in Abhängigkeit von [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] aufschreiben:
[mm] a_1
[/mm]
[mm] a_2
[/mm]
[mm] a_1+a_2
[/mm]
[mm] a_1+2a_2
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Mamisch |
Die Anregung mit dem Aufschreiben der Folge war schonmal hilfreich. Da sich alles in Abhängigkeit von [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] darstellen lässt, habe ich die beiden schonmal als Basis des UVR festgehalten.
Bei der Prüfung auf die UVR-Kriterien ist mir aufgefallen dass wenn ich z.B. das 5. und 7. Element des UVRs nehme und diese auf Abgeschlossenheit bei der Addition prüfe:
[mm] (2a_{1} [/mm] + [mm] 3a_{2}) [/mm] + [mm] (5a_{1} [/mm] + [mm] 8a_{2}) [/mm] = [mm] 7a_{1} [/mm] + [mm] 11a_{2}
[/mm]
erhalte. Was aber ja gar nicht Element des UVR ist. Also wäre das Kriterium für den Untervektorraum ja verletzt. Oder denke ich hier falsch?
Zur Dimension würde ich sagen, dass diese [mm] \infty [/mm] ist, da man die Folge ja unendlich fortsetzen kann. (Oder doch 2 weil ich als Freiheitsgerade ja im Endeffekt nur [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] habe?)
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> Die Anregung mit dem Aufschreiben der Folge war schonmal
> hilfreich. Da sich alles in Abhängigkeit von [mm]a_{1}[/mm] und
> [mm]a_{2}[/mm] darstellen lässt, habe ich die beiden schonmal als
> Basis des UVR festgehalten.
Hallo,
ich glaube, Dir ist noch nicht ganz klar, was die Elemente des Vektorraumes sind.
Die Elemente des Vektorraumes sind nicht Folgenglieder, sondern komplette Folgen.
Es wäre z.B. die Folge (7, 13, 20, 33, 53, 86, 139, ...) ein Element des Vektorraumes.
Du solltest nun festgestellt haben, daß man jede Fibonacci-Folge aus zwei Folgenlinearkombinieren kann, nämlich aus [mm] a_1*(Folge [/mm] 1) + [mm] a_2*(Folge [/mm] 2).
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> Bei der Prüfung auf die UVR-Kriterien ist mir aufgefallen
> dass wenn ich z.B. das 5. und 7. Element des UVRs nehme und
> diese auf Abgeschlossenheit bei der Addition prüfe:
Du mußt hier komplette Folgen addieren, denn diese sind die Elemente des Vektorraumes.
> Zur Dimension würde ich sagen, dass diese [mm]\infty[/mm] ist, da
> man die Folge ja unendlich fortsetzen kann. (Oder doch 2
> weil ich als Freiheitsgerade ja im Endeffekt nur [mm]a_{1}[/mm] und
> [mm]a_{2}[/mm] habe?)
Eher zweiteres.
Gruß v. Angela
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