Beweis Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:56 Mi 26.10.2005 | | Autor: | DonTobi |
Hi!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hab als Aufgabe bis morgen also heute folgenden Beweis aufbekommen:
Es seien [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] positive Zahlen. Beweisen sie, dass die Ungleichung [mm] n^{2} \le (\summe_{i=1}^{n} a_{i})(\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{a_{i}}) [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 1 gilt. Wann gilt Gleichheit?
Ein Tipp dazu ist:
Man soll zuerst zeigen, dass a + [mm] \bruch{1}{a} \ge [/mm] 2 für alle positiven Zahlen a gilt.
Hab einiges probiert, komm aber überhaupt nicht weiter. Bitte helft mir 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo DonTobi!
Für den eigentlichen Nachweis musst du wohl mit vollständiger Induktion vorgehen ...
Hier mal etwas Hilfe bei dem "Neben-Nachweis" :
$a + [mm] \bruch{1}{a} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ [mm] $\left| \ * \ a \ > 0$
$a^2 + 1 \ \ge \ 2a$ $\left| \ - \ 2a$
$a^2 - 2a + 1 \ = \ (a-1)^2 \ \ge \ 0$ erfüllt für alle $a \ \in \ \IR$
So, nun versuche Dich doch mal an der Hauptaufgabe ...
Gruß
Loddar
[/mm]
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