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| Aufgabe | Sei I eine Indexmenge. Beweisen Sie: Eine Folge [mm] (A_{i})_{i\in I} [/mm] ist genau dann unabhängig, wenn für alle endlichen Mengen [mm] \emptyset \not= J_{1}, J_{2} \subseteq [/mm] I mit [mm] J_{1} \cap J_{2} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] und [mm] P(\bigcap_{j_{2}\in J_{2}} A_{j_{2}}) \not= [/mm] 0 gilt:
[mm] P(\bigcap_{j_{1}\in J_{1}} A_{j_{1}} [/mm] | [mm] \bigcap_{j_{2}\in J_{2}} A_{j_{2}}) [/mm] = [mm] P(\bigcap_{j_{1}\in J_{1}} A_{j_{1}}) [/mm] |
Hallo,
Werde bei obiger Aufgabe erstmal von den Indizes erschlagen und weiß nicht wirklich wie man da ansetzt. Ich hätte erstmal die eine und dann die andere Richtung gezeigt.
Also für [mm] \Rightarrow [/mm] gehe ich davon aus dass [mm] (A_{i})_{i\in I} [/mm] unabhängig ist, d.h. für jede endliche Teilmenge J aus I gilt
[mm] P(\bigcap_{j\in J} A_{j}) [/mm] = [mm] \produkt_{j\in J} P(A_{j}). [/mm] Aber wie komme ich jetzt zu den 2 Indexmengen [mm] J_{1}, J_{2}?
[/mm]
Hoffe es kann mir wer weiterhelfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 So 07.11.2010 | | Autor: | luis52 |
> Sei I eine Indexmenge. Beweisen Sie: Eine Folge
> [mm](A_{i})_{i\in I}[/mm] ist genau dann unabhängig, wenn für alle
> endlichen Mengen [mm]\emptyset \not= J_{1}, J_{2} \subseteq[/mm] I
> mit [mm]J_{1} \cap J_{2}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] und [mm]P(\bigcap_{j_{2}\in J_{2}} A_{j_{2}}) \not=[/mm]
> 0 gilt:
> [mm]P(\bigcap_{j_{1}\in J_{1}} A_{j_{1}}[/mm] | [mm]\bigcap_{j_{2}\in J_{2}} A_{j_{2}})[/mm]
> = [mm]P(\bigcap_{j_{1}\in J_{1}} A_{j_{1}})[/mm]
> Hallo,
>
> Werde bei obiger Aufgabe erstmal von den Indizes erschlagen
> und weiß nicht wirklich wie man da ansetzt. Ich hätte
> erstmal die eine und dann die andere Richtung gezeigt.
> Also für [mm]\Rightarrow[/mm] gehe ich davon aus dass
> [mm](A_{i})_{i\in I}[/mm] unabhängig ist, d.h. für jede endliche
> Teilmenge J aus I gilt
> [mm]P(\bigcap_{j\in J} A_{j})[/mm] = [mm]\produkt_{j\in J} P(A_{j}).[/mm]
> Aber wie komme ich jetzt zu den 2 Indexmengen [mm]J_{1}, J_{2}?[/mm]
Moin,
du *kommst* nicht dazu, sondern du gibst dir $ [mm] \emptyset \not= J_{1},J_{2} \subseteq [/mm] I$ vor. Was kannst du ueber [mm] $J_{1}\cup J_{2}$ [/mm] sagen?
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 So 07.11.2010 | | Autor: | override88 |
Laut Voraussetzung sind [mm] J_{1} [/mm] und [mm] J_{2} [/mm] disjunkt. Sorry habe gerade keine Zeit mehr darüber nachzudenken, muss in die Arbeit. Werde mich dann morgen wieder damit befassen. Aber für weitere Tipps bin ich dankbar.
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Hm ich komme nicht wirklich weiter, auf was willst du mit [mm] J_{1}\cup J_{2} [/mm] hinaus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Mo 08.11.2010 | | Autor: | luis52 |
Zu zeigen ist
$ [mm] P(\bigcap_{j_{1}\in J_{1}} A_{j_{1}} \mid \bigcap_{j_{2}\in J_{2}} A_{j_{2}}) [/mm] = [mm] \frac{P(\bigcap_{j_{1}\in J_{1}} A_{j_{1}} \cap \bigcap_{j_{2}\in J_{2}} A_{j_{2}})}{P(\bigcap_{j_{2}\in J_{2}} A_{j_{2}})} [/mm] = [mm] P(\bigcap_{j_{1}\in J_{1}} A_{j_{1}}) [/mm] $.
Nun ist aber [mm] $J_1\cup J_2$ [/mm] eine endliche Menge ...
vg Luis
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Dann hätte ich [mm] P(\bigcap_{j\in J_{1}\cup J_{2}} A_{j}) [/mm] = [mm] \produkt_{j\in J_{1}\cup J_{2}} P(A_{j}) [/mm] oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mo 08.11.2010 | | Autor: | luis52 |
> Dann hätte ich [mm]P(\bigcap_{j\in J_{1}\cup J_{2}} A_{j})[/mm] =
> [mm]\produkt_{j\in J_{1}\cup J_{2}} P(A_{j})[/mm] oder?
Ja. Und?
vg Luis
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Was soll ich damit anfangen? Ich weiß es nicht.. Kann mir darunter gar nix mehr vorstellen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Mo 08.11.2010 | | Autor: | luis52 |
Alles muss man selber machen ... ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]")
Es ist
$ [mm] P(\bigcap_{j\in J_{1}\cup J_{2}} A_{j}) [/mm] = [mm] \produkt_{j\in J_{1}\cup J_{2}} P(A_{j})= \produkt_{j\in J_{1}}P(A_{j})\cdot\produkt_{j\in J_{2}}P(A_{j}) [/mm] $.
Andererseits ist [mm] $P(\bigcap_{j_{2}\in J_{2}} A_{j_{2}})=\produkt_{j\in J_{2}}P(A_{j})$. [/mm] Kuerzen liefert [mm] $\produkt_{j\in J_{1}}P(A_{j})=P(\bigcap_{j\in J_{1}} A_{j})$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Di 09.11.2010 | | Autor: | override88 |
Danke für die Hilfe, aber für mich ist das manchmal einfach zu hoch um da auf solche "Tricks" wie [mm] J_{1}\cup J_{2} [/mm] betrachten zu kommen.. ;)
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