Beweis Rang Verkettete AbB < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Sa 16.01.2010 | | Autor: | j3ssi |
| Aufgabe | Seien U, V, W endlichdimensionale K-Vektorräume und $F:U [mm] \to [/mm] V$ und $ G:V [mm] \to [/mm] W $ lineare Abbildungen Beweise folgende Ungleichungen
a) $rang(G [mm] \circ [/mm] F) [mm] \le min\{rang(F),rang(G)\}$
[/mm]
b) $rang(F)+rang(G) + dim(V) [mm] \le [/mm] rang(G [mm] \circ [/mm] F)$ |
Meine Überlegungen dazu:
zu a) habe ich eine Abbildung G` konstriert die der verketteten Abbildung zweiter Teil entspricht also : $G`: Bild(F) [mm] \to [/mm] W$ dementsprechend hat diese Abbildung den $rang(G`) [mm] \le min\{dim V-dim Kern F, dim W\}$
[/mm]
und für $ rang(F) [mm] \le min\{dim U, dim V\}$
[/mm]
$rang( G) [mm] \le min\{dim V, dim W\}$
[/mm]
Mir stellt sich jetzt die Frage wie ich den $rang(G [mm] \circ [/mm] F) herausfinde.
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Vielleicht bringt es dich weiter, wenn ich dir sage, dass:
1.) jeder lineare Abbildung lässt sich eindeutig als Matrix darstellen
2.) die Verkettung zweier lin. Abb ist wieder linear und entspricht der Matrizenmultiplikation, also F [mm] \circ [/mm] G = AB,
wobei A die zu F gehörige und B die zu G gehörige Matrix ist.
3.) es gilt: dimBild(A)=rangA
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