Beweis (Primfaktorzerlegung) < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Satz: [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ
[/mm]
Beweis:
Annahme: [mm] \wurzel{2} \in \IQ [/mm]
Wähle
[mm] m\ \in\ \IZ\ und\ n\ \in\ \IZ\ mit\ \bruch{m}{n} = \wurzel{2} [/mm]
[mm] \Rightarrow m^{2}=2n^{2} [/mm]
In der Primfaktorzerlegung von [mm] m^{2} [/mm], bzw in der von [mm] 2n^{2} [/mm], kommt der Faktor 2 in gerader, bzw in ungerader Anzahl vor. (Widerspruch zu [mm] m^{2}=2n^{2} [/mm])
Somit ist [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ [/mm] |
Ich verstehe nicht, warum der Faktor 2 in gerader, bzw ungerader Anzahl vorkommt. Kann nicht zB
[mm] 2x=m^{2} \Rightarrow 2x=2n^{2} [/mm]
Warum ist es eindeutig, dass die 2 nicht gleichoft vorkommt, wenn man die beiden Seiten zerlegt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
ich finde den Kommentar auch etwas kurz gehalten um ihn (insbesondere als Erst-/Zweitsemestler) nachvollziehen zu können.
Der Hinweis bezieht sich darauf, dass in Quadratzahlen immer eine gerade Anzahl von Primfaktoren vorkommen muss.
Nun hat man aber die Darstellung: [mm] $m^2 [/mm] = [mm] 2n^2$
[/mm]
[mm] n^2 [/mm] enthält (nach obiger Bemerkung) eine gerade Anzahl von 2er Faktoren (da Quadratzahl), somit enthält [mm] $2*n^2 [/mm] $ eine ungerade Anzahl vom Faktor 2 (nämlich gerade die Anzahl in [mm] n^2 [/mm] + 1 Faktor).
[mm] m^2 [/mm] als Quadratzahl muss aber eine gerade Anzahl von 2er-Faktoren enthalten, was ein Widerspruch ist.
Dass es keine andere Darstellung geben kann, ergibt sich aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.
Ich persönlich find eine etwas andere Herangehensweise sinnvoller, nämlich:
gegeben war ja [mm] $\bruch{m}{n} [/mm] = [mm] \wurzel{2}$ [/mm] wobei man bei den rationalen Zahlen immer voraussetzen kann, dass m und n maximal gekürzt sind (denn nur dann ist die Darstellung eindeutig).
Nun hatten wir ja: [mm] $m^2 [/mm] = [mm] 2n^2$. [/mm] Bis dahin war ja noch alles klar.
Nun gilt aber nach obiger Gleichung [mm] $2|m^2$.
[/mm]
Daraus folgt bei ganzen Zahlen sofort: $2|m$.
D.h. wir können m schreiben als $m=2*k$
Setzen wir das nun in unsere Ausgangsgleichung ein, erhalten wir:
[mm] $m^2 [/mm] = [mm] (2*k)^2 [/mm] = [mm] 4k^2 [/mm] = [mm] 2n^2$
[/mm]
Umgeformt: [mm] $n^2 [/mm] = [mm] 2k^2$
[/mm]
Mit gleicher Argumentation wie oben erhält man sofort $2|n$.
D.h. man hat:
2|m und 2|n somit waren m und n nicht maximal gekürzt was ein Widerspruch zur Annahme darstellt.
MFG,
Gono.
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Hi,
zuerst einmal danke für deine Antwort. Ich habe bzgl. der Antwort eine Frage und dann noch bzgl deines Beweises eine andere:
1. Bedeutet die gerade Anzahl von Primfaktoren, dass diese
auch den gleichen Wert haben? Also zB:
3*3=9
2*2*2*2=16
oder gibt es auch Quadratzahlen, deren Zerlegung durch
unterschiedliche Primfaktoren darstellbar ist?(Was dann
ein Widerspruch zu der geraden Anzahl an 2en wäre)
2. Was bedeutet in deinem Beweis folgendes: $ [mm] 2|m^2 [/mm] $
Das hab ich bisher noch nie gesehen...
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Hallo niratschi,
[mm] \quad [/mm] ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hi,
> zuerst einmal danke für deine Antwort. Ich habe bzgl. der
> Antwort eine Frage und dann noch bzgl deines Beweises eine
> andere:
> 1. Bedeutet die gerade Anzahl von Primfaktoren, dass diese
> auch den gleichen Wert haben? Also zB:
> 3*3=9
> 2*2*2*2=16
Mir leider nicht ganz klar, was du meinst. In einer Quadratzahl tritt jeder Primfaktor zu einer geraden Potenz auf (wie in deinen Beispielen: [mm] 16=2^4, 9=3^2). [/mm] Da jeder Primfaktor in gerader Anzahl vorkommt, ist auch die Gesamtanzahl an Primfaktoren bei einer Quadratzahl gerade.
In einer Quadratzahl können aber durchaus unterschiedliche Primfaktoren auftauchen. Bsp: [mm] 100=10^2=2^2*5^2
[/mm]
> oder gibt es auch Quadratzahlen, deren Zerlegung durch
> unterschiedliche Primfaktoren darstellbar ist?
Nein, die Primfaktorzerlegung ist für jede Zahl eindeutig.
> (Was dann ein Widerspruch zu der geraden Anzahl an 2en wäre)
>
> 2. Was bedeutet in deinem Beweis folgendes: [mm]2|m^2[/mm]
> Das hab ich bisher noch nie gesehen...
Es bedeutet, dass 2 ein Teiler von [mm] m^2 [/mm] ist.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Di 12.04.2011 | | Autor: | niratschi |
Super, danke euch, damit wäre auch der Rest geklärt.
Mfg
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