Beweis Parallelität von Gerade < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Casandra |
| Aufgabe | Seien g und h verschiedene Gerden des [mm] R^n, [/mm] die parallel zueinander liegen. Seien weiter paarweise verschiedene Punkte A,B, C auf g und A´,B´, C´auf h gegeben.
Gilt dann gAA´ [mm] \parallel [/mm] gCC´und gAB´ [mm] \parallel [/mm] gBC' [mm] \Rightarrow [/mm] gBA´ [mm] \parallel [/mm] gCB'. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir fehlt leider ein Ansatz zu dieser Aufgabe. In der Vorlesung haben wir was mit Teilverhältnissen (TV) gemacht. Jedoch immer nur bei Geraden die sich schneiden. Jetzt weiß ich nicht ob ich die Gerade A´B verlängere so dass sie die Gerade C´C schneidet, so dass dann das TV (A´,B´,C') = TV (A, B, C) ist.
Wäre nett wenn mir einer einen Tipp oder Idee zu der Aufgabe geben könnte.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Di 27.05.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien g und h verschiedene Gerden des [mm]R^n,[/mm] die parallel
> zueinander liegen. Seien weiter paarweise verschiedene
> Punkte A,B, C auf g und A´,B´, C´auf h gegeben.
> Gilt dann gAA´ [mm]\parallel[/mm] gCC´und gAB´ [mm]\parallel[/mm] gBC'
> [mm]\Rightarrow[/mm] gBA´ [mm]\parallel[/mm] gCB'.
> Mir fehlt leider ein Ansatz zu dieser Aufgabe. In der
> Vorlesung haben wir was mit Teilverhältnissen (TV) gemacht.
> Jedoch immer nur bei Geraden die sich schneiden. Jetzt weiß
> ich nicht ob ich die Gerade A´B verlängere so dass sie die
> Gerade C´C schneidet, so dass dann das TV (A´,B´,C') = TV
> (A, B, C) ist.
Meine Vermutung ist, daß du das mit den Mitteln der analytischen Geometrie bearbeiten sollst. Da g und h parallel sind, haben sie den gleichen Richtungsvektor V. Wenn ich als Stützpunkt für g A nehme, ist B = A + [mm] t_{B}*V [/mm] und C = A + [mm] t_{C}*V. [/mm] Entsprechend kann ich das auf h machen mit dem gleichen V, aber anderen t's. Dann kann ich die Richtungsvektoren von gAA', gCC', gBC' und gAB' ausrechnen, ausnutzen, daß je 2 davon parallel sein sollen und mal schauen, was mit den gesuchten Geraden ist.
Eine ganz andere Strategie wäre: g und h bestimmen eine Ebene im Raum, also findet alles in einer Ebene statt. In der Ebene ist das der (kleine) Satz des Pappus, und für dessen Beweis müßtest du mal die Literatur studieren.
Morgen weiß ich vielleicht mehr...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Di 27.05.2008 | | Autor: | Casandra |
Vielen Danke für die Antwort!
Jedoch komme ich irgendwie trotzdem nicht weiter. Habe jetzt die Geradengleichungen aufgestellt und damit auch die Richtungsvektoren von gAA´, gCC'etc.
Da ja immer zwei Geraden parallel sind haben sie ja wieder den gleichen RV, so dass sie sich nur im Stützvektor und in dem t unterscheiden.
Nehme ich jetzt an das die Geraden gBA'und gCB´parallel sind oder stelle ich einfach zwei Geraden auf und betrachte die?
Wenn ich zwei Gleichungen aufstelle, haben sie jeweils einen Punkt mit den bekannten Geraden gemeinsam, also kann ich sie gleichsetzen, aber dabei fällt mir auch nichts auf.
Ich glaube meine Augen sehen hier nichts mehr ;-(
Den Satz von Pappos haben wir in der Vorlesung gemacht, aber mit zwei Geraden die sich schneiden und dann haben wir das über das Teilverhältnis bewiesen.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Mi 28.05.2008 | | Autor: | statler |
Hallo!
Zunächst einmal sind AA' (der Vektor von A nach A') und V (der Richtungsvektor von g und h) linear unabhhängig, da A' nicht auf g liegt. Nun setzen wir
C = A + [mm] t_{C}*V
[/mm]
B = A + [mm] t_{B}*V
[/mm]
C' = A' + [mm] t_{C'}*V
[/mm]
B' = A' + [mm] t_{B'}*V
[/mm]
Dann ist
AA' = A' - A
und
CC' = C' - C = A' - A + [mm] (t_{C'} [/mm] - [mm] t_{C})
[/mm]
Die beiden sollen parallel sein, also ist
A' - A = t(A' - A) + [mm] t(t_{C'} [/mm] - [mm] t_{C})V,
[/mm]
woraus wegen der linearen Unabhängigkeit folgt
t = 1 und [mm] t_{C'} [/mm] = [mm] t_{C}
[/mm]
Aus der entsprechenden Rechnung für AB' und BC' folgt [mm] t_{C'} [/mm] = [mm] t_{B} [/mm] + [mm] t_{B'}.
[/mm]
Das gesuchte Resultat ergibt sich dann aus
BA' = A' - B = A' - A - [mm] t_{B}V
[/mm]
und
CB' = B' - C = A' - A + [mm] (t_{B'} [/mm] - [mm] t_{C})V [/mm] = A' - A - [mm] t_{B}V,
[/mm]
also sind BA' und CB' (als Vektoren) sogar gleich.
Ich bin mir in keiner Weise sicher, ob das so gemacht werden sollte, weil ich den axiomatischen Aufbau deiner Vorlesung nicht kenne.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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