Beweis Meromorphe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei U ⊂ [mm] \IC [/mm] offen und f eine meromorphe Funktion auf U. Zeigen Sie: für [mm] z_{0} [/mm] ∈ U
gilt [mm] Res(\bruch{f'}{f},z_{0})=ord(f,z_{0}) [/mm] |
ich habe die Aufgabe so gelöst.
f ist meromorph auf dem gebiet U [mm] \subset \IC,und [/mm] f [mm] \not= [/mm] 0 , so besitze er ns a1,a2 .........am,polstellen b1,b2........................bm die mit ihren ordnung zu zählen sind.sei m die ordnung von [mm] (f,z_{0}) [/mm] der meromorph funktion f an der stelle [mm] z_{0}, [/mm] so lässt sich [mm] f(z)=c_{m}(z-z_{0})^m [/mm] + [mm] c_{m-1}(z-z_{0})^{m-1}....... [/mm] schreiben, so hat [mm] \bruch{f'}{f} [/mm] um [mm] z_{0} [/mm] die laurententwicklung mit [mm] \bruch{f'(z)}{f(z)}=\bruch{mc_{m}(z-z_{0})^{m-1}+.............}{c_{m}(z-z_{0})^{m}+.........}
[/mm]
= [mm] \bruch {m}{(z-z_{0})} [/mm] + f(z) (ähnlich) so ist [mm] Res(\bruch{f'}{f},z_{0})=m [/mm] .
meine frage?reicht das für den beweis oder fehlt was?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Di 10.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei U ⊂ [mm]\IC[/mm] offen und f eine meromorphe
> Funktion auf U. Zeigen Sie: für [mm]z_{0}[/mm] ∈ U
> gilt [mm]Res(\bruch{f'}{f},z_{0})=ord(f,z_{0})[/mm]
> ich habe die Aufgabe so gelöst.
> f ist meromorph auf dem gebiet U [mm]\subset \IC,und[/mm] f [mm]\not=[/mm]
> 0 , so besitze er ns a1,a2 .........am,polstellen
> b1,b2........................bm die mit ihren ordnung zu
> zählen sind.sei m die ordnung von [mm](f,z_{0})[/mm] der meromorph
> funktion f an der stelle [mm]z_{0},[/mm] so lässt sich
> [mm]f(z)=c_{m}(z-z_{0})^m[/mm] + [mm]c_{m-1}(z-z_{0})^{m-1}.......[/mm]
> schreiben, so hat [mm]\bruch{f'}{f}[/mm] um [mm]z_{0}[/mm] die
> laurententwicklung mit
> [mm]\bruch{f'(z)}{f(z)}=\bruch{mc_{m}(z-z_{0})^{m-1}+.............}{c_{m}(z-z_{0})^{m}+.........}[/mm]
> = [mm]\bruch {m}{(z-z_{0})}[/mm] + f(z) (ähnlich) so ist
> [mm]Res(\bruch{f'}{f},z_{0})=m[/mm] .
>
>
> meine frage?reicht das für den beweis oder fehlt was?
Die Beweisidee ist richtig, aber du solltest das etwas besser aufschreiben.
Zum Beispiel stimmt deine Reihenentwicklung nicht, denn deine Exponenten von [mm] $(z-z_{0})$ [/mm] werden kleiner statt größer.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
vielen dank für die antwort.
ich musste schon selbst feststellelen, dass meine lösung nicht so komplete richtig ist.man kann sie auch einfacher beweisen , indem man eine andere funkion def., die holomorph ist in punkt [mm] z_{0} [/mm] ist und dann mit der funktion f weiterrechnen, idem man sie ableitet und dann die ordnung bestimmt.
muss mich mit den anderen aufgaben beschäftigen, sonst würde ich die komplete lösung hinschreiben.
danke nochmal.
|
|
|
|
