Beweis: Mengenverknüpfung < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:55 Mo 13.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | $\ A$ und $\ B$ seien Teilmengen einer Grundmenge $\ E$
Beweisen Sie formal durch anwenden der mengenalgebraischen Gesetze folgende Behauptung:
$\ (A [mm] \cap B)\cap\overline{(\overline{A} \cup B)}\cap [/mm] E = [mm] \emptyset [/mm] $ |
Hi,
bei dieser Aufgabe bräuchte ich ein wenig Hilfe  , ich häng irgendwie irgendwo drin' und hab das Gefühl, dass mich ein wenig selbst verlaufe und würde mich freuen wenn mir jemand den Weg zum Ergebnis zeigt.
Mein Ansatz war dieser:
$\ A, B [mm] \subset [/mm] E$
$\ x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] E $
Sei nun $\ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$
$\ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \not\in \overline{A} \wedge [/mm] x [mm] \not\in \overline{B} [/mm] $
$\ [mm] \gdw [/mm] x [mm] \not\in \overline{(\overline{A} \cup B)} \gdw [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cap \overline{B})\ [/mm] (De\ Morgan) $
$\ [mm] \gdw [/mm] ... $
hier weiss ich nun nicht weiter. Ich weiss nicht, ob der Beweis hier schon abgeschlossen ist, da für $\ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) $ und $\ x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cap \overline{B}) [/mm] $ keine Vereinigung existiert und somit eine leere Menge entsteht, oder ob ich aufgrund der Vereinigung mit $\ E$, eigentlich garnichts bewiesen habe und das ganze totaler blödsinn ist.
Würde mich also über jeden Hinweis sehr freuen.
Danke
ChopSuey
Habe den ersten Entwurf aktualisiert, da mir doch noch ein wenig in den Sinn kam, wie ich vielleicht in die richtige Richtung kommen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo ChopSuey,
wenn du auf der Linken Seite die Negation auflöst, dann erhältst du ausschließlich Schnittmengen. In dieser kommt, wie bereits von dir festgestellt, mit [mm] B\cap\overline{B}=\emptyset [/mm] vor. Damit stellt die gesamte linke Seite die leere Mengen dar, da jede Menge im Schnitt mit der leeren Menge leer ist. [mm] \mathcal{X}\cap\emptyset=\emptyset
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Mo 13.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
> Hallo ChopSuey,
Hallo Herby und vielen Dank für die Antwort
>
> wenn du auf der Linken Seite die Negation auflöst, dann
> erhältst du ausschließlich Schnittmengen. In dieser kommt,
> wie bereits von dir festgestellt, mit
> [mm]B\cap\overline{B}=\emptyset[/mm] vor. Damit stellt die gesamte
> linke Seite die leere Mengen dar, da jede Menge im Schnitt
> mit der leeren Menge leer ist.
> [mm]\mathcal{X}\cap\emptyset=\emptyset[/mm]
Gut, dann lag ich mit der Vermutung, dass [mm]\mathcal{X}\cap\emptyset=\emptyset[/mm] allgemein gilt, also richtig. Hab das leider nicht wirklich gewusst aber vermutet.
Ist denn meine Beweisführung richtig? Stimmen denn meine logischen Verknüpfungen bzw. ist mein Beweis zumindest in der Ausführung auf dem richtigen Weg?
Wenn ja, wäre das natürlich klasse.
Vielen Dank
Gruß
ChopSuey
Falls nein, würde ich mich sehr über Hinweise/Korrekturen freuen.
>
> Liebe Grüße
> Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Di 14.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hi,
ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand Hinweise bezüglich meines Beweises geben könnte
Ob diese denn richtig sind bzw ob meine logischen Aussagen korrekt sind.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> [mm]\ A[/mm] und [mm]\ B[/mm] seien Teilmengen einer Grundmenge [mm]\ E[/mm]
>
> Beweisen Sie formal durch anwenden der mengenalgebraischen
> Gesetze folgende Behauptung:
>
> [mm]\ (A \cap B)\cap\overline{(\overline{A} \cup B)}\cap E = \emptyset[/mm]
>
> Hi,
>
> bei dieser Aufgabe bräuchte ich ein wenig Hilfe ,
> ich häng irgendwie irgendwo drin' und hab das Gefühl, dass
> mich ein wenig selbst verlaufe und würde mich freuen wenn
> mir jemand den Weg zum Ergebnis zeigt.
>
> Mein Ansatz war dieser:
>
> [mm]\ A, B \subset E[/mm]
>
> [mm]\ x \in A \vee x \in B \gdw x \in E[/mm]
>
> Sei nun [mm]\ x \in (A \cap B)[/mm]
>
> [mm]\ x \in (A \cap B) \gdw x \in A \wedge x \in B \gdw x \not\in \overline{A} \wedge x \not\in \overline{B}[/mm]
wie begründest du hier die Äquivalenz - ich habe das jetzt schon mehrmals hier gelesen aber ich komme nicht auf deinen nächsten Schritt.
> [mm]\ \gdw x \not\in \overline{(\overline{A} \cup B)} \gdw x \not\in (A \cap \overline{B})\ (De\ Morgan)[/mm]
> [mm]\ \gdw ...[/mm]
>
> hier weiss ich nun nicht weiter. Ich weiss nicht, ob der
> Beweis hier schon abgeschlossen ist, da für [mm]\ x \in (A \cap B)[/mm]
> und [mm]\ x \not\in (A \cap \overline{B})[/mm] keine Vereinigung
> existiert und somit eine leere Menge entsteht, oder ob ich
> aufgrund der Vereinigung mit [mm]\ E[/mm], eigentlich garnichts
> bewiesen habe und das ganze totaler blödsinn ist.
nein, totaler Blödsin ist es nicht, denn es gibt ja kein x, das in B und nicht in B ist. Aber ich halte diesen Beweis für diese Aufgabe unangebracht.
Vielleicht findet sich ja hierzu noch eine weitere Meinung.
Liebe Grüße
Herby
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Hallo Herby,
> Hallo,
>
> > [mm]\ A[/mm] und [mm]\ B[/mm] seien Teilmengen einer Grundmenge [mm]\ E[/mm]
> >
> > Beweisen Sie formal durch anwenden der mengenalgebraischen
> > Gesetze folgende Behauptung:
> >
> > [mm]\ (A \cap B)\cap\overline{(\overline{A} \cup B)}\cap E = \emptyset[/mm]
>
> >
> > Hi,
> >
> > bei dieser Aufgabe bräuchte ich ein wenig Hilfe ,
> > ich häng irgendwie irgendwo drin' und hab das Gefühl, dass
> > mich ein wenig selbst verlaufe und würde mich freuen wenn
> > mir jemand den Weg zum Ergebnis zeigt.
> >
> > Mein Ansatz war dieser:
> >
> > [mm]\ A, B \subset E[/mm]
> >
> > [mm]\ x \in A \vee x \in B \gdw x \in E[/mm]
> >
> > Sei nun [mm]\ x \in (A \cap B)[/mm]
> >
> > [mm]\ x \in (A \cap B) \gdw x \in A \wedge x \in B \gdw x \not\in \overline{A} \wedge x \not\in \overline{B}[/mm]
>
> wie begründest du hier die Äquivalenz - ich habe das jetzt
> schon mehrmals hier gelesen aber ich komme nicht auf deinen
> nächsten Schritt.
Nun, wenn $\ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) $ dann müsste doch daraus folgen, dass $\ [mm] \gdw [/mm] x [mm] \not\in (\overline{A} \cap \overline{B})$ [/mm]
Allerdings merk ich hier gerade, dass das nicht zu beweisen gilt, aber folgendes lässt sich beweisen:
$\ (x [mm] \in [/mm] A [mm] )\wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cap \overline{B}) \gdw [/mm] x [mm] \not\in \overline{(\overline{A} \cup B)}\ [/mm] (De\ Morgan) $
somit sieht mein Beweis nun wie folgt aus:
[mm]\ A, B \subset E[/mm]
[mm]\ x \in A \vee x \in B \gdw x \in E[/mm]
Sei nun $ \ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) $
$\ [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] )\wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cap \overline{B}) \gdw [/mm] x [mm] \not\in \overline{(\overline{A} \cup B)}\ [/mm] (De\ Morgan) $
Nun hab ich folgende Frage:
gemäß den Dominanzgesetzen gilt ja $\ A [mm] \cap \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] $
gilt dann für meinen Beweis folglich die Annahme, dass
$ \ (A [mm] \cap B)\cap\overline{(\overline{A} \cup B)}\cap [/mm] E = [mm] \emptyset [/mm] $
wenn bewiesen ist, dass
$\ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$
$\ x [mm] \not\in \overline{(\overline{A} \cup B)}$
[/mm]
$\ [mm] x\in [/mm] E $
[mm] $\= \emptyset [/mm] $
??
Wenn ja, wäre mein Beweis hier beendet, da ja nur zu beweisen galt, dass irgendwo in diesem Term eine leere Menge entsteht, sobald die Schnittmenge gesucht ist.
> Vielleicht findet sich ja hierzu noch eine weitere
> Meinung.
>
>
> Liebe Grüße
> Herby
Ja, wäre super. Vielen dank trozdem für die Hilfe soweit
Gruß
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 17.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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