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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:03 Do 22.01.2009 | | Autor: | mathika |
| Aufgabe | Betrachte die durch die Abbildung D gegebene Leibniz-Formel:
[mm] D: K^{n \times n} \rightarrow K, [/mm]
[mm]A = (a_{ij}) \rightarrow \summe_{\Phi \in S_n} \operatorname{sgn} (\Phi) a_{\Phi(1)1}a_{\Phi(2)2}...a_{\Phi(n)n}[/mm]
Zeige D = det. |
Hallo!
Ich hoffe ihr könnt mir hierbei helfen, ich komme alleine einfach nicht weiter :( Und morgen muss ich die Hausaufgabe abgeben.
Ich soll ja zeigen, dass die Leibniz-Formel eine Determinantenform ist, da wir schon gezeigt haben, dass die Determinante eindeutig ist.
Nun muss ich wohl zeigen:
(i) D ist multilinear
(ii) D ist alternierende Multilinearform
(iii) [mm] F(e_1, ..., e_n) = 1 [/mm]
Für die Multilinearität haben wir folgende Bedingung:
Eine Abbildung [mm] F: K^{n \times n} \rightarrow K [/mm] heißt multilinear, falls für alle i [mm] \in {1, ..., n}[/mm], für alle [mm] v_1, ..., v_n \in K^n[/mm], für alle [mm] \lambda, \mu \in K[/mm], für alle [mm] x, y \in K^n[/mm] gilt:
[mm] F(v_1, ..., v_{i-1}, \lambda x + \mu y, v_{i+1}, ..., v_n) = \lambda F(v_1, ..., v_{i-1}, x, v_{i+1}, ..., v_n) + \mu F(v_1, ..., v_{i-1}, y, v_{i+1}, ..., v_n)[/mm]
Schon dabei komme ich überhaupt nicht voran.
Sind denn [mm] v_1, ..., v_n [/mm] Spaltenvektoren? Ich dachte ich setze einfach in meine Funktion D [mm] v_1, ..., v_{i-1}, \lambda x + \mu y, v_{i+1}, ..., v_n [/mm] ein:
[mm] D(v_1, ..., v_{i-1}, \lambda x + \mu y, v_{i+1}, ..., v_n) = \summe_{\Phi \in S_n} \operatorname{sgn} (\Phi) v_{\Phi(1)1}v_{\Phi(2)2}...v_{\Phi(i-1)i-1}(\lambda x + \mu y)_{\Phi(i+1)i+1}v_{\Phi(2)2}...v_{\Phi(n)n}[/mm]
Aber dann weiss ich nicht wie ich weitermachen soll.
Für eine Hilfe bin ich sehr dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 24.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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