Beweis Konvergenz unendl.Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mo 26.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | | Man zeige: Die unendlichen Reihen [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (x_{k}-x_{k+1} [/mm] ) und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (x_{k}-x_{k-1} [/mm] )sind genau dann konvergent, wenn die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] konvergiert. |
Hallo,
Beweise fallen mir immer ziemlich schwer. Hier hab' ich mal wieder das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich das mathematisch korrekt aufschreiben muss.
Ist es so, dass die Summen nur dann monoton und beschränkt sind, wenn es auch die Folge [mm] a_{n} [/mm] ist?
Muss hier auch die Rückrichtung gezeigt werden?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Mo 26.01.2009 | | Autor: | alexwie |
Hallo Ronja,
ich schätze mal dein [mm] a_n [/mm] soll [mm] x_n [/mm] heißen.
Schreib die unendliche doch mal als Grenzwert einer endlichen summe an. Dann zerteilst du diese in zwei und machst bei einer ne indexverschiebung. Dann siehst du ja dass sich eine Teleskopsumme ergibt, also alle glieder bis auf das erste und das letzte wegfallen. wenn du dann den grenzwert übergang machst konnvergiert die Reihe klarerweise weil ja das letzte glied ein nur Folgenglied deiner konvergenten Folge [mm] x_n [/mm] ist.
LG Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mo 26.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
vielen Dank!
Also, ich versuch das jetzt mal:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (x_{k}-x_{k+1})= (x_{k}-x_{k+1}) (x_{k}-x_{k+1}+1)/2
[/mm]
wegen der Gaußschen Formel.
Und jetzt in zwei Summen aufteilen oder?
[mm] \summe_{k=1}^{N} (x_{k}-x_{k+1})/2*\summe_{k=1}^{N+1} (x_{k}-x_{k+1}+1)/2
[/mm]
Hab' das Gefühl, dass ist total falsch...:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mo 26.01.2009 | | Autor: | alexwie |
Also, ich hätte mir das so gedacht:
[mm] $$\summe_{i=1}^{\infty}x_{n}-x_{n-1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{i=1}^{n}x_{n} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{n-1}) [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{i=0}^{n-1}x_{n} [/mm] - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_n [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{n-1}x_{n})= \limes_{n\rightarrow\infty}(x_n [/mm] - [mm] x_0)$$
[/mm]
und das konvergiert genau dann wenn [mm] x_n [/mm] konvergiert.
Lg Alex
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