Beweis Konvergenz Aufg. b) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:47 Di 18.05.2010 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe |
b) [mm] a_{n} [/mm] sei eine rekursiv definierte Folge:
[mm] a_{1} [/mm] := 1, [mm] a_{n+1} [/mm] := 1 + [mm] \bruch{1}{1+a_{n}}.
[/mm]
Zeige mit dem Cauchy-Kriterium, dass [mm] (a_{n}) [/mm] konvergiert. |
Wie gehe ich so eine Aufgabe an? Eine Schritt für Schritt Anleitung wäre für mich sehr hilfreich.
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Di 18.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> b) [mm]a_{n}[/mm] sei eine rekursiv definierte Folge:
> [mm]a_{1}[/mm] := 1, [mm]a_{n+1}[/mm] := 1 + [mm]\bruch{1}{1+a_{n}}.[/mm]
> Zeige mit dem Cauchy-Kriterium, dass [mm](a_{n})[/mm] konvergiert.
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> Wie gehe ich so eine Aufgabe an? Eine Schritt für Schritt
> Anleitung wäre für mich sehr hilfreich.
die wird Dir so erst mal gar nichts bringen. Du musst wissen, was das Cauchykriterium ist, d.h. schlage erst mal nach, was dieses Kriterium aussagt. Dabei solltest Du insbesondere den Begriff der ![[]](/images/popup.gif) Cauchyfolge wiederholen.
Wenn Du das getan hast, dann kannst Du auf die Idee kommen, oben zunächst mal für beliebige $n,m [mm] \in \IN$ [/mm] die Differenz
[mm] $$|a_n-a_m|$$
[/mm]
zu berechnen. Und danach kannst Du dann, z.B. wenn Du diese Differenz auch geeignet abgeschätzt hast, überlegen, wie der Beweis, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] Cauchyfolge ist, aussieht.
Üblicherweise wird er anfangen mit
"Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest..."
Beste Grüße,
Marcel
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