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| Aufgabe | Sei [mm] (X,A,\mu) [/mm] ein Massraum, f eine reellwertige, [mm] \mu-integrierbare [/mm] Funktion und [mm] \epsilon [/mm] > 0 .
Zeige, dass dann eine einfache, [mm] \mu-integrierbare [/mm] Funktion [mm] \phi [/mm] existiert mit
[mm] \integral |f-\phi| d\mu [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] |
f [mm] \mu-integrierbar \rightarrow \integral [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = sup [mm] \int \phi d\mu [/mm] < [mm] \infty [/mm]
(Das Supremum wird über alle einfachen Funktionen [mm] \phi [/mm] gebildet die messbar, reellwertig sind und für die [mm] f(x)\ge \phi(x) \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X gilt)
Die einzige Ungleichung, die ich bisher mit Betragsfunktionen gefunden habe, ist dass
[mm] $|\integral [/mm] f [mm] d\mu| \le \integral |f|d\mu$ [/mm] aber irgendwie hat mir das nix gebracht bisher.
Dass f [mm] \mu-integrierbar [/mm] ist, heisst doch auch, dass die Menge [mm] \{\phi : \phi \text{ einfach, messbar,..., } f(x)\ge\phi(x) \forall x \} [/mm] existiert, bzw. das Supremum davon. Wie aber kann ich hier ein [mm] \phi [/mm] rausnehmen, dass obiges gilt?
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Fr 12.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](X,A,\mu)[/mm] ein Massraum, f eine reellwertige,
> [mm]\mu-integrierbare[/mm] Funktion und [mm]\epsilon[/mm] > 0 .
> Zeige, dass dann eine einfache, [mm]\mu-integrierbare[/mm] Funktion
> [mm]\phi[/mm] existiert mit
> [mm]\integral |f-\phi| d\mu[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
>
> f [mm]\mu-integrierbar \rightarrow \integral[/mm] f [mm]d\mu[/mm] = sup [mm]\int \phi d\mu[/mm]
> < [mm]\infty[/mm]
>
> (Das Supremum wird über alle einfachen Funktionen [mm]\phi[/mm]
> gebildet die messbar, reellwertig sind und für die [mm]f(x)\ge \phi(x) \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] X gilt)
>
> Die einzige Ungleichung, die ich bisher mit
> Betragsfunktionen gefunden habe, ist dass
> [mm]|\integral f d\mu| \le \integral |f|d\mu[/mm] aber irgendwie hat
> mir das nix gebracht bisher.
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> Dass f [mm]\mu-integrierbar[/mm] ist, heisst doch auch, dass die
> Menge [mm]\{\phi : \phi \text{ einfach, messbar,..., } f(x)\ge\phi(x) \forall x \}[/mm]
> existiert, bzw. das Supremum davon. Wie aber kann ich hier
> ein [mm]\phi[/mm] rausnehmen, dass obiges gilt?
Wegen [mm] \integral [/mm] f [mm]d\mu[/mm] = sup [mm]\int \phi d\mu[/mm] gibt es ein [mm] \phi [/mm] mit den bekannten Eigenschaften mit:
(*) int [mm] \phi d\mu [/mm] > int f [mm] d\mu [/mm] - [mm] \varepsilon
[/mm]
Wegen f [mm] \ge \phi [/mm] ist [mm] |f-\phi|=f-\phi. [/mm] Mit (*) folgt das Gewünschte.
FRED
>
> Grüsse
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