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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:41 Do 02.07.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Haben bewiesen: [mm] A:=\{B\in\Omega, B \text{oder} B^c\text{ endlich}\} [/mm] ist eine Algebra.
Zeige: Die Mengenfunktion v: [mm] A\to[0,\infty] [/mm] mit v(B)=0, falls B endlich und [mm] \infty, [/mm] falls [mm] B^c [/mm] endlich ist (für [mm] B\in [/mm] A) ist ein Inhalt.
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Hallo zusammen!
Obige Aufgabe ist sicher total leicht, aber irgendwie komm ich da nicht weiter.
Habe gedacht, dass man sich die Mengen aus B als Vereinigung von Einpunktmengen (die dann ja paarweise disjunkt wären) darstellen kann. Aber wie könnte man dann weiter machen? Bzw wie beurteile ich, ob die Menge endlich oder unendlich ist ? Wäre toll, wenn ihr mir auf die Sprünge helfen könntet.
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Do 02.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, dass [mm] \Omega [/mm] eine nicht endliche Menge ist, denn sonst ist die Mengenfunktion v nicht wohldefiniert.
Das mußt Du zeigen:
1. [mm] v(\emptyset) [/mm] = 0
2. Sind [mm] $B_1, [/mm] ..., [mm] B_n \in [/mm] A$ paarweise disjunkt und $B = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}B_i$, [/mm] so ist
$v(B) [mm] =\summe_{i=1}^{n}v(B_i)$
[/mm]
1. dürfte klar sein
Bei 2. Unterscheide 3 Fälle:
I) alle [mm] B_j [/mm] sind endlich, was ist dann B , endlich oder nicht ?
II) alle [mm] B_j^c [/mm] sind endlich, was ist dann [mm] B^c [/mm] ?
III) es gibt ein j mit 1 [mm] \le [/mm] j<n, [mm] B_1, [/mm] ..., [mm] B_j [/mm] endlich und [mm] B_{j+1}^c, [/mm] ..., [mm] B_n^c [/mm] endlich
noch ein Tipp: de Morgansche Regeln
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:32 Do 02.07.2009 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank, Fred. Werde mir gleich mal ein paar Gedanken dazu machen. [mm] \Omega [/mm] ist übrigen abzählbar unendlich, würde sich was ändern, wenn der [mm] \Omega [/mm] nur abzählbar wäre ?
VG!
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Do 02.07.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo Fred,
also
(1) gilt wegen der Endlichkeit der leeren Menge
zu (2)
1.Fall:
Wenn [mm] B_i [/mm] für alle i endlich sind, so ist die Vereinigung auch endlich,
also [mm] \summe_{i=1}^{n} P(B_i)=0=P(B)
[/mm]
2.Fall:
Wenn [mm] B^c_i [/mm] endlich, dann ist auch [mm] B^c [/mm] endlich,
denn [mm] B^c=(\bigcup_{i=1}^{n}B_i))^c=\bigcap_{i=1}^{n}B^c_i
[/mm]
Also: [mm] P(B)=\infty=\summe P(B_i)
[/mm]
3.Fall:
Hab versucht [mm] \bigcup [/mm] B bzw [mm] (\bigcup B)^c [/mm] umzuschreiben in der Form
[mm] \bigcup_{i=1}^{j}B_i\bigcup_{i=j}^{n}B_i=\bigcup_{i=1}^{j}B_i\cup((\bigcup_{i=j}^{n}B_i)^c)^c=\bigcup_{i=1}^{j}B_i\cup\bigcap_{i=j}^{n}B^c_i
[/mm]
Oder vielleicht so:
[mm] (\bigcup B_i)^c=\bigcap B^c_i\subset B^c_j
[/mm]
Da [mm] B^c_j [/mm] endlich ist, ist auch [mm] (\bigcup B_i)^c [/mm] endlich
Dann wie im Fall 2 weiter vorgehen.
Gruß
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Do 02.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu Fall 3:
$ [mm] B^c [/mm] = [mm] (\bigcup_{i=1}^{n}B_i)^c= \bigcap_{i=1}^{n}B_i^c [/mm] $
Da mindestens ein [mm] B_i^c [/mm] endlich ist, ist [mm] B^c [/mm] endlich, also v(B) = [mm] \infty
[/mm]
Wegen $ [mm] B_{j+1}^c, [/mm] $ ..., $ [mm] B_n^c [/mm] $ endlich ist [mm] \summe_{i=1}^{n}v(B_i) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
FRED
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