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| Aufgabe | Beweisen Sie für beliebige Mengen K, L, M, N:
Wenn K [mm] \sim [/mm] M und L [mm] \sim [/mm] N, dann ist K [mm] \times [/mm] L [mm] \sim [/mm] M [mm] \times [/mm] N, wobei das Zeichen [mm] \sim [/mm] die Gleichmächtigkeit und das Zeichen [mm] \times [/mm] das Kreuzprodukt bezeichnet. |
Man weiß ja, dass K nach M und L nach N bijektive Abbildungen sind. Damit K [mm] \times [/mm] L [mm] \sim [/mm] M [mm] \times [/mm] N erfüllt ist, muss es nun eine bijektive Abbildung h: K [mm] \times [/mm] L [mm] \to [/mm] M [mm] \times [/mm] N geben. Die Injektivität habe ich bereits gezeigt, nun muss ich nur noch zeigen, dass diese Abbildung surjektiv ist, doch leider finde ich keinen Ansatz. Das muss doch auch wieder etwas mit geordneten Paaren sein!
Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie für beliebige Mengen K, L, M, N:
> Wenn K [mm]\sim[/mm] M und L [mm]\sim[/mm] N, dann ist K [mm]\times[/mm] L [mm]\sim[/mm] M
> [mm]\times[/mm] N, wobei das Zeichen [mm]\sim[/mm] die Gleichmächtigkeit und
> das Zeichen [mm]\times[/mm] das Kreuzprodukt bezeichnet.
> Man weiß ja, dass K nach M und L nach N bijektive
> Abbildungen sind.
.... merkwürdiger Satz ! Du meinst sicher dass es eine bij. Abb. von K nach M und eine bijektive Abb. von L nach N gibt.
> Damit K [mm]\times[/mm] L [mm]\sim[/mm] M [mm]\times[/mm] N erfüllt
> ist, muss es nun eine bijektive Abbildung h: K [mm]\times[/mm] L [mm]\to[/mm]
> M [mm]\times[/mm] N geben.
Richtig
> Die Injektivität habe ich bereits
> gezeigt, nun muss ich nur noch zeigen, dass diese Abbildung
> surjektiv ist, doch leider finde ich keinen Ansatz. Das
> muss doch auch wieder etwas mit geordneten Paaren sein!
> Kann mir jemand helfen?
So nicht, wenn Du uns nicht mitteilst, wie die Abb. h aussieht !!
FRED
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Wir haben in der Vorlesung definiert, dass die Gleichmächtigkeit von K und M bedeutet, dass es eine bijektive Abbildung f: K [mm] \to [/mm] M gibt und wegen der Gleichmächtigkeit von L und N gibt es eine bijektive Abbildung g: L [mm] \to [/mm] N.
Wir definieren nun eine Abbildung h: K [mm] \times [/mm] L [mm] \to [/mm] M [mm] \times [/mm] N durch h((x,y))=(f(x),g(y)). Wenn wir zeigen können, dass h bijektiv ist, dann ist der Beweis abgeschlossen. Wenn (r,s), (t,u) [mm] \in [/mm] K [mm] \times [/mm] L und h((r,s))=h((t,u)), dann ist (f(r),g(s))=(f(t),g(u)) und nach der Definition von geordneten Paaren gilt: f(r)=f(t) und g(s)=g(u)
Da f und g injektiv sind, folgt daraus r=t und s=u. Somit haben wir gezeigt, dass h injektiv ist. Nun muss nur noch gezeigt werden, dass h surjektiv ist.
Und da finde ich keinen Ansatz für!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mi 11.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Mit Verlaub, aber die Surjektivität von h ist ganz einfach zu zeigen:
Sei (a,b) [mm] \in [/mm] MxN.
f ist surjektiv, also gibt es ein x [mm] \in [/mm] K mit f(x) = a
g ist surjektiv, also gibt es ein y [mm] \in [/mm] L mit g(y) = b.
Dann ist h(x,y) = (a,b)
FRED
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