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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Ursus |
Hi Leute!
Ich hab mal wieder ein Problem bei dieser Aufgabe.
Sei A eine beliebige nichtleere Menge. Beweise:
a) Es gibt stets eine injektive Funktion f von A nach P(A). (Gib dazu eine explizite Konstruktion an.)
b) Sei g: A [mm] \to [/mm] P(A) eine beliebige Funktion. Dann kann g niemals surjektiv sein. (Hinweis: Indirekter Beweis)
zu a) Ich hab schon eine Idee und zwar:
f: A [mm] \to [/mm] P(A)
a [mm] \mapsto [/mm] {a}
f injektiv: f(x) [mm] \not= [/mm] f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not= [/mm] y
{a} [mm] \not= [/mm] {b}
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] {a} [mm] \not= [/mm] b [mm] \in [/mm] {b}
Damit hab ich jetzt gezeigt, dass die Funktion injektiv ist, (oder fehlt hier noch was)? Wie zeige ich, dass es "STETS EINE" Funktion gibt?
zu b) Hier hab ich mir gedacht, dass die [mm] \emptyset [/mm] immer in der Potenzmenge enthalten ist, aber sie nicht in der Menge A vorkommt. Daraus folgt, dass sie niemals surjektiv sein kann, oder?? Aber mir fehlt hier der Plan, wie ich das aufschreiben soll.
Bitte helft mir weiter!
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!
mfg URSUS
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hi Ursus!
> Hi Leute!
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> Ich hab mal wieder ein Problem bei dieser Aufgabe.
>
> Sei A eine beliebige nichtleere Menge. Beweise:
> a) Es gibt stets eine injektive Funktion f von A nach
> P(A). (Gib dazu eine explizite Konstruktion an.)
>
> b) Sei g: A [mm]\to[/mm] P(A) eine beliebige Funktion. Dann kann g
> niemals surjektiv sein. (Hinweis: Indirekter Beweis)
>
> zu a) Ich hab schon eine Idee und zwar:
> f: A [mm]\to[/mm] P(A)
> a [mm]\mapsto[/mm] {a}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f injektiv: f(x) [mm]\not=[/mm] f(y) [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\not=[/mm] y
> {a} [mm]\not=[/mm] {b}
> [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] {a} [mm]\not=[/mm] b [mm]\in[/mm] {b}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Damit hab ich jetzt gezeigt, dass die Funktion injektiv
Das ist nicht okay, denn du zeigst nicht die Injektivität. Du mußt für die Injektivität nachweisen:
Aus $f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow$ [/mm] $x=y$ (und pass bitte auf, dass du dich für $x$, $y$ bei den Variablennamen entscheidest oder für $a$,$b$ und das nicht durcheinandermischst).
Alternativ kannst du auch zeigen:
Aus [mm] $x\not=y \Rightarrow$ $f(x)\not=f(y)$.
[/mm]
> ist, (oder fehlt hier noch was)? Wie zeige ich, dass es
> "STETS EINE" Funktion gibt?
>
> zu b) Hier hab ich mir gedacht, dass die [mm]\emptyset[/mm] immer
> in der Potenzmenge enthalten ist, aber sie nicht in der
> Menge A vorkommt. Daraus folgt, dass sie niemals surjektiv
> sein kann, oder?? Aber mir fehlt hier der Plan, wie ich das
> aufschreiben soll.
Nein. Denn natürlich kann ich für z.B. [mm] $g:\{1\} \to P(\{1\})$ [/mm] definieren:
[mm] $g(1):=\emptyset$. [/mm]
> Bitte helft mir weiter!
Da gibt es einen nichttrivialen Trick, auf den selten einer alleine kommt:
Also Hinweis:
Betrachte [mm] $B:=\left\{x \in A: x \notin g(x) \right\}$. [/mm] $B$ ist eine Teilmenge von $A$, also ein Element von $ [mm] \cal{P}(A)$. [/mm] Zeige, dass niemals [m]B[/m] im Bild von $g$ liegen kann.
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Do 09.12.2004 | | Autor: | Ursus |
Hi!
Erstmals dankeschön für deine Antwort.
a ist mir jetzt klar.
Ich habe noch ne Frage zu b. Und zwar definierst du
B:={x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \notin [/mm] g(x)}.
D.h. B ist die Menge aller x aus A mit der Eigenschaft x ist kein Element in g(x) = P(A). Habe ich diese Definition richtig aufgefasst?
Aber irgendwie ist mir die Def. nicht klar, weil es gibt doch keine Teilmenge von A, die das erfüllt, da ja jede Teilmenge von A als Element in der P(A) vorkommt.
**Das kapier ich nicht**
Hilf mir bitte bei der Definition!
Gruß URSUS
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Do 09.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ursus,
> Hi!
> Erstmals dankeschön für deine Antwort.
> a ist mir jetzt klar.
>
> Ich habe noch ne Frage zu b. Und zwar definierst du
> [mm]B:=\{x \in A:\, x \notin g(x)\}[/mm].
> D.h. B ist die Menge aller x aus A mit der Eigenschaft x
> ist kein Element in g(x) = P(A). Habe ich diese Definition
> richtig aufgefasst?
Leider nein, bei dir ist die Aussage $g(x)=P(A)$ falsch. $g$ sei ja eine (beliebige) Abbildung der Form [m]g: A \to \cal{P}(A)[/m]. Für $x [mm] \in [/mm] A$ ist also $g(x) [mm] \in \cal{P}(A)$, [/mm] mit anderen Worten:
[mm] $\underbrace{x}_{\in A} \mapsto [/mm] g(x) [mm] \subset [/mm] A$ (beachte: ich benutze [mm] $\subset$ [/mm] im Sinne von [m]\subseteq[/m]).
D.h., $x [mm] \in [/mm] A$ wird auf eine Teilmenge von $A$ abgebildet. Nun kann aber $x [mm] \in [/mm] g(x)$ gelten, oder aber $x [mm] \notin [/mm] g(x)$ (das $x$ wird ja auf eine Teilmenge von $A$ abgebildet, und in dieser Teilmenge kann das $x$ enthalten sein oder eben nicht). Und nun betrachten wir halt alle $x [mm] \in [/mm] A$, für die $x [mm] \notin [/mm] g(x)$ gilt und definieren damit die Menge $B$:
[mm] $B:=\{x \in A:\,x \notin g(x)\}$.
[/mm]
Wie ich es noch ausführlicher erklären könnte, weiß ich nicht. Ich weiß, diese Menge $B$ ist ein sehr merkwürdiges Konstrukt, und ich habe selten (bzw. noch nie) gesehen, dass jemand von alleine drauf kommt, diese Menge zu betrachten. Aber wenn man einige Zeit drüber nachdenkt, gelangt man tatsächlich zu der Kenntniss, dass da etwas vernünftiges steht.
Übrigens erkennt man sofort: $B [mm] \subset [/mm] A$, weil ja in der Mengenklammer von $B$ steht:
B ist die Menge aller $x [mm] \in [/mm] A$, für die ... gilt...
Ich hoffe, damit sind jetzt alle Unklarheiten beseitigt. 
Und bedenke: Mit diesem Tipp gilt:
Für jede Abbildung $g: A [mm] \to \cal{P}(A)$ [/mm] kann man also eine Menge [mm] $B=B_g \subset [/mm] A$, also $B [mm] \in \cal{P}(A)$ [/mm] finden, für die [m]B \notin g(A)[/m] gilt. Damit kann keine Abbildung [m]g: A \to \cal{P}(A)[/m] surjektiv sein!
Achja, bevor ich es vergesse:
Hast du den bewiesen bekommen, dass $B [mm] \notin [/mm] g(A)$ gelten muss?
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Ursus |
Hi Marcel!
Besten Dank für die ausführliche Antwort, jetzt ist mir alles klar. Ja, hab ich bewiesen bekommen, dass B [mm] \notin [/mm] g(A) gilt.
Vielen Dank nochmals, mfg chris
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