Beweis Fixpunkt einer Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 22.03.2009 | | Autor: | Pauline |
| Aufgabe | Beweise: Jede auf einem Intervall [a;b] stetige Funktion f, deren Wertemenge f([a;b]) enthalten ist in dem Intervall [a,b], d.h.
[mm] f([a,b])\subset[a,b], [/mm] hat mindestens einen Fixpunkt.
Anleitung: Wende den Nullstellensatz auf eine geeignete Funktion g an. |
Hallo...
Ehrlich gesagt, ist mir diese Art von Beweisführung fremd, weil wir bisher nur die VI behandelt haben. Dieses hier ist mir irgendwie ein Rätsel, aber dennoch will ich es mal versuchen....
Ansatz:
Wenn für jede stetige Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] gilt f([a,b]) [mm] \subset[a,b], [/mm] so gibt es mindestens einen Fixpunkt f(x) = x.
Haben f(a) und f(b) außerdem verschiedene Vorzeichen (f(a)>0, f(b) < 0 oder umgekehrt), existiert mindestens eine Nullstelle.
Sei g(x) = f(x)-x.
Aus g(x) = f(x) - x folgt g(a) = f(a)- a
g(b) = f(b)- b.
Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, ist eine Gleichung positiv und eine Gleichung negativ:
g(x) < 0 < f(x) und g(x) > 0 > f(x).
Es existiert also mindestens eine Nullstelle [mm] x_{0} [/mm] mit g(x) = 0.
Schlussfolgerung: [mm] g(x_{0}) [/mm] = [mm] f(x_{0}) [/mm] - [mm] x_{0} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow f(x_{0}) [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] als Fixpunkt.
Komme ich damit durch? Über eine Resonanz würde ich mich sehr freuen!
Liebe Grüße
Pauline
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 So 22.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Beweise: Jede auf einem Intervall [a;b] stetige Funktion f,
> deren Wertemenge f([a;b]) enthalten ist in dem Intervall
> [a,b], d.h.
> [mm]f([a,b])\subset[a,b],[/mm] hat mindestens einen Fixpunkt.
>
> Anleitung: Wende den Nullstellensatz auf eine geeignete
> Funktion g an.
> Hallo...
>
> Ehrlich gesagt, ist mir diese Art von Beweisführung fremd,
> weil wir bisher nur die VI behandelt haben. Dieses hier ist
> mir irgendwie ein Rätsel, aber dennoch will ich es mal
> versuchen....
>
> Ansatz:
> Wenn für jede stetige Funktion f auf einem abgeschlossenen
> Intervall [a,b] gilt f([a,b]) [mm]\subset[a,b],[/mm] so gibt es
> mindestens einen Fixpunkt f(x) = x.
Das kannst du noch nicht verwenden.
> Haben f(a) und f(b) außerdem verschiedene Vorzeichen
Das ist allerdings nicht vorausgesetzt.
> (f(a)>0, f(b) < 0 oder umgekehrt), existiert mindestens
> eine Nullstelle.
> Sei g(x) = f(x)-x.
> Aus g(x) = f(x) - x folgt g(a) = f(a)- a
> g(b) = f(b)- b.
> Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, ist eine
> Gleichung positiv und eine Gleichung negativ:
> g(x) < 0 < f(x) und g(x) > 0 > f(x).
>
> Es existiert also mindestens eine Nullstelle [mm]x_{0}[/mm] mit g(x)
> = 0.
>
> Schlussfolgerung: [mm]g(x_{0})[/mm] = [mm]f(x_{0})[/mm] - [mm]x_{0}[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow f(x_{0})[/mm] = [mm]x_{0}[/mm] als Fixpunkt.
>
> Komme ich damit durch? Über eine Resonanz würde ich mich
> sehr freuen!
>
> Liebe Grüße
> Pauline
Hallo,
mache dir eine Skizze. Der Graph von f hat mit der Geraden, die durch die Punkte (a|f(a)) und (b|f(b)) geht, mindestens einen Schnittpunkt.
Wenn du jetzt als g(x) die Differenz von f(x) und der beschriebenen linearen Funktion nimmst, hast du tatsächlich Bereiche mit positiven und negativen Funktionswerten (Sonderfälle gibt es, wenn f und die lineare Fuktion sich in einer Intervallgrenze schneiden).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 22.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Hallo Abakus,
danke für deine Reaktion.
Ist denn der "Beweis", bis auf die beiden Einwände, sonst akzeptabel?
Leider kann ich es nicht besser.
Liebe Grüße
Pauline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 So 22.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Pauline!
> Hallo Abakus,
> danke für deine Reaktion.
> Ist denn der "Beweis", bis auf die beiden Einwände, sonst
> akzeptabel?
Nicht ganz. Die Idee, den Nullstellensatz auf $g(x)=f(x)-x$ anzuwenden, ist richtig. Aber die Argumentation mit den Vorzeichen stimmt so nicht. Du brauchst für den Nullstellensatz doch, dass $g(a)$ und $g(b)$ unterschiedliche Vorzeichen haben; die Vorzeichen von $f(a)$ und $f(b)$ kennst du doch gar nicht.
Nun bedenke folgendes: die Aussage [mm] $f([a,b])\subset [/mm] [a,b]$ bedeutet ausgeschreiben nichts anderes als
[mm] a\le f(x) \le b [/mm] für alle [mm] x [/mm] mit [mm] a\le x \le b[/mm].
Was kannst du also über $g(a)$ und $g(b)$ aussagen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 22.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Antwort.
Also, damit ich schön die Übersicht behalte, das Ganze nochmal von vorn:
Wenn für jede stetige Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall [a;b] gilt [mm] f([a;b])\subset[a;b], [/mm] so existiert mindestens ein Fixpunkt f(x)=x.
Wegen [mm] f([a;b])\subset[a;b], [/mm] kann dann nur f(a)>a und f(b)<b sein.
Es sei g(x)= f(x)-x .
Daraus folgt: g(a)=f(a)-a und g(b)=f(b)-b.
Haben g(a) und g(b) verschiedene Vorzeichen, ist eine Gleichung positiv und eine Gleichung negativ.
Also, wegen g(a)>0 und g(b)<0 oder umgekehrt, muss die Funktion g zwischen a und b eine Nullstelle [mm] x_{0} [/mm] haben:
[mm] g(x_{0})=0 [/mm] mit [mm] x_{0}\subset [/mm] [a;b].
Schlussfolgerung: [mm] g(x_{0})=f(x_{0})-x=0 \Rightarrow f(x_{0})=x_{0}.
[/mm]
[mm] x_{0} [/mm] ist also ein Fixpunkt von f.
Ich hoffe, damit kann ich jetzt richtig punkten....
Liebe Grüße
Pauline
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Hallo Pauline,
Um der ganzen Sache vllt noch den letzten Schliff zu geben:
Der Fixpunktsatz ist eine Folgerung aus dem Zwischenwertsatz. Ich hoffe diesen hattet ihr bereits.
Ist f(a)=a oder f(b)=b sind wir ja schon fertig, also können wir getrost diese Fälle ausklammern. o.B.d.A. sei also [mm] f(a)\not=a [/mm] und [mm] f(b)\not=b.
[/mm]
Du setzt voraus:
> Wenn für jede stetige Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall
> [a;b] gilt [mm] f([a;b])\subset[a;b], [/mm] so existiert mindestens ein Fixpunkt f(x)=x.
aber das sollst du ja erst beweisen!
Die Funktion f ist stetig auf [a,b]. f([a,b]) [mm] \subset [/mm] [a,b]. Der Zwschenwertsatz besagt nun, dass jeder Punkt zwischen Inf. und Sup. angenommen wird. D.h. jeder Wert zwischen f(a) und f(b) wird angenommen.
Jetzt defininiertst du dir eine Hilfsfunktion g(x)=f(x)-x. Das hattest du ja auch, und wendest hieraus den Zwischenwertsatz erneut an, diesmal das mit den Vorzeichen. und bist fertig.
So hätte ich das gemacht.
lG Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 So 22.03.2009 | | Autor: | Pauline |
Hallo Kai,
supi, also noch ein bisschen modellieren und ich bin fertig!
Vielen lieben Dank!
Pauline
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