Beweis Existenz von Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 So 13.04.2008 | | Autor: | megh1977 |
| Aufgabe | Betrachten Sie für q>1 das Integral [mm] \integral_{1}^{q}{1/x dx}.
[/mm]
Beweisen sie direkt aus der Definition, daß dieses Integral existiert und berechnen Sie es mit Hilfe von Ober- und Untersumme.
Hinweis:eine Hilfreiche Unterteilung ist [mm] 1=x_{0} |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Unsere Def. sagt das Oberintegral ist das inf der Obersumme und das Unterintegral das sup der Untersumme.Und wenn Oberint = Unterint dann ist die existenz bewiesen?Als Summe habe ich als Obersumme [mm] \summe_{k=1}^{n} q^{1/n} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{1+q^{k/n}} [/mm] und als Untersumme [mm] \summe_{k=1}^{n} q^{1/n} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{1+q^{k-1/n}} [/mm] entwickelt.
Jetzt muß ich die gleich setzen und einen gleichen Grenzwert ermitteln. Mit welchem Konv.kriterium würde es gehen?Oder stimmt die Summen-Formel nicht?...bin verzweifelt...
|
|
| |
|
Hallo,
bei deiner Aufgabenstellung, meinst du mit [math]x_{k}=x^{k/n}[/math] nicht [math]x_{k}=k\cdot \frac {q-1} {n}[/math], die äquidistante Zerlegung. Normalerweise nimmt man die diese Form.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 So 13.04.2008 | | Autor: | Jolly |
Hi, ich kenne sie, wir geben das Ana-Blatt zusammen ab und ihr PC hat sich dezent verabschiedet.
Wenn man es genau nimmt, meint sie [mm] x_k = q^{\bruch{k}{n}} [/mm]
Hab grad mal nachgeguckt, sie müsste ja theoretisch auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n * (a^{\bruch{1}{n}} -1) [/mm] kommen, oder?
Viele Grüße, Jolly
|
|
|
| |
|
Hallo,
bei der Zerlegung [math]x_{k}=q^{\frac {k} {n}}[/math] würde es passen.
Man muss dann nur zeigen, dass Ober und Untersumme gleich sind. Also bei mir sieht das so aus:
[math]O_{k}=\sum_{k=0}^{n}\frac {1} {x_{k}}\cdot (\Delta x_{k})=\sum_{k=0}^{n}\frac {1} {q^{k/n}}\cdot q^{k/n} \cdot(q^{1/n}-1)=n\cdot (q^{1/n}-1)[/math] und
[math]U_{k}=\sum_{k=0}^{n}\frac {1} {q^{k/n}\cdot q^{1/n}}\cdot q^{k/n}\cdot (q^{1/n}-1)=\sum_{k=0}^{n}\frac {1} {q^{1/n}}\cdot q^{k/n}\cdot (q^{1/n}-1)=n\cdot (1-\frac {1} {q^{1/n}})[/math].
Zu zeigen ist, dass der Grenzwert gleich ist. Deshalb behaupte
[math]\mathrm{lim}_{n\rightarrow \infty}\left(\frac {n\cdot (q^{1/n}-1)} {n\cdot (1-\frac {1} {q^{1/n}})}\right)=\mathrm{lim}_{n\rightarrow \infty}\left(\frac {(q^{1/n}-1)} {(1-\frac {1} {q^{1/n}})}\right)=1[/math]. Um dies zu zeigen muss man den Satz von l'Hopital anwenden und nach [math]n[/math] ableiten. Dann folgt [math]\mathrm{lim}_{n\rightarrow \infty}\left((q^{1/n})^2\right)=1[/math], also gilt [math]O=U[/math], also Riemann-integrierbar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Di 15.04.2008 | | Autor: | megh1977 |
Danke. Bin an der Aufgabe verzweifelt. Zwei lange Tage...Habe auch zunächst die Aufteilung k mal q-1/n gewählt, kam aber zu keinem Ergebnis.
Der Zettel ist jetzt schon beim Prof (ohne Lösung) aber trotzdem Danke.
|
|
|
|
