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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Di 24.06.2008 | | Autor: | Casandra |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass im [mm] \IR³ [/mm] eine zu einer Ebene parallele Gerade in der Ebene liegt der mit ihr einen leeren Durchschnitt hat. |
Das bedeutet ja, dass g [mm] \in [/mm] E oder g [mm] \cap [/mm] E = [mm] \emptyset.
[/mm]
Ich denke, dass ich dies indirekt beweisen muss.
Ich weiß ja das der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zu einander sind, wenn ich als Voraussetzung g [mm] \parallel [/mm] E wähle. Und sie sind dann ja echt parallel, wenn g [mm] \not\in [/mm] E.
E: [mm] \overrightarrow{x}= \overrightarrow{p} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + s* [mm] \overrightarrow{b} [/mm] und g: [mm] \overrightarrow{x}= \overrightarrow{q} [/mm] + t * [mm] \overrightarrow{u}.
[/mm]
Und [mm] \overrightarrow{u} [/mm] lässt sich als Linearkombination von [mm] \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} [/mm] darstellen:
[mm] \overrightarrow{u} =r_{1} [/mm] * [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] * [mm] \overrightarrow{b}
[/mm]
Annahme: g [mm] \in [/mm] E:
[mm] \overrightarrow{q} [/mm] + t * [mm] \overrightarrow{u} [/mm] = [mm] \overrightarrow{p} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + s* [mm] \overrightarrow{b}
[/mm]
dann erhalte ich
[mm] \overrightarrow{q} [/mm] = [mm] \overrightarrow{p} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + s* [mm] \overrightarrow{b} [/mm] - t * [mm] \overrightarrow{u}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overrightarrow{q} [/mm] = [mm] \overrightarrow{p} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + s* [mm] \overrightarrow{b} [/mm] - t * [mm] r_{1} *\overrightarrow{a} [/mm] - t * [mm] s_{1} *\overrightarrow{b}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overrightarrow{q} [/mm] = [mm] \overrightarrow{p} [/mm] + (r - t * [mm] r_{1}) [/mm] * [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + (s - t * [mm] s_{1}) *\overrightarrow{b} [/mm]
dann kann ich Q in die Geradengleichung von g einsetzen
und erhalte
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{p} [/mm] + (r - t * [mm] r_{1}) [/mm] * [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + (s - t * [mm] s_{1}) *\overrightarrow{b} [/mm] + t [mm] \overrightarrow{u}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{p} [/mm] + (r - t * [mm] r_{1}) [/mm] * [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + (s - t * [mm] s_{1}) *\overrightarrow{b} [/mm] + t [mm] (r_{1} [/mm] * [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] * [mm] \overrightarrow{b})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{p} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{a} [/mm] + s * [mm] \overrightarrow{b} [/mm]
Dann liegt ja g in E. Kann man dies denn überhaupt so zeigen? Oder ist das vollkommener Blödsinn?
WEiß dann nicht weiter wie ich das andere zeigen kann.
Wäre nett wenn mir einer nen TIpp geben könnte.
Liebe Grüße Casandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Di 24.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
also ehrlich gesagt frage ich mich nach dem Sinn dieser Aufgabe.
Wenn die Gerade nicht in der Ebene liegt, bedeutet "parallel" doch gerade, dass die Gerade die Ebene nicht schneidet.
Was gibt's da noch zu zeigen?
Oder habt Ihr den Begriff "parallel" in besonderer Weise definiert?
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Casandra |
Danke für deine Antwort!
Zur Parallelität haben wir folgendes:
Die Gerade g und die Ebene e heißen genau dann parallel, wenn sich der Richtungsvektor von g als Liniearkombination der Richtungsvektoren von e darstellen lässt.
Und wenn sie echt parallel sind, dass sie keinen Schnittpunkt haben.
Mehr haben wir nicht zur Parallelität von einer GEraden und einer Ebene.
Deswegen habe ich das so wie oben versucht.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:59 Mi 25.06.2008 | | Autor: | djmatey |
> Danke für deine Antwort!
>
> Zur Parallelität haben wir folgendes:
> Die Gerade g und die Ebene e heißen genau dann parallel,
> wenn sich der Richtungsvektor von g als Liniearkombination
> der Richtungsvektoren von e darstellen lässt.
genau, und dabei kann die Gerade noch in der Ebene liegen. Also liegt sie entweder in der Ebene oder:
> Und wenn sie echt parallel sind, dass sie keinen
> Schnittpunkt haben.
und das heißt doch gerade, dass g [mm] \cap [/mm] E = [mm] \emptyset
[/mm]
> Mehr haben wir nicht zur Parallelität von einer GEraden und
> einer Ebene.
>
> Deswegen habe ich das so wie oben versucht.
>
> Liebe Grüße
LG djmatey
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