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| Aufgabe | Seien [mm] n \in \IN [/mm], K ein Körper und [mm] x, y \in K [/mm]. Wir setzen
[mm] a_{ij}=\begin{cases} x, & \mbox{für } i=j \\ y, & \mbox{für } i \not= j \end{cases} [/mm]
und
[mm] A_n = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}. [/mm]
Beweisen Sie:
det [mm] A_n = (x + (n-1) y) (x - y)^{n-1} [/mm]. |
Hi,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe bereits folgendes gemacht:
Die Matrix hat folgende Darstellung:
[mm] \pmat{ x & y & y & y & \ldots \\
y & x & y & y & \ldots\\
y & y & x & y & \ldots\\
y & y & y & x & \ldots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots} [/mm]
Um die Determinante zu berechnen muss man die Matrix in eine obere Dreiecksmatrize umformen, dann erhält man:
[mm] \left[ \begin {array}{ccccc} x&y&y&y&y\\\noalign{\medskip}0&{\frac {y
\left( x-y \right) }{x}}&{\frac {{x}^{2}-{y}^{2}}{x}}&{\frac {y
\left( x-y \right) }{x}}&{\frac {y \left( x-y \right) }{x}}
\\\noalign{\medskip}0&0&-x+y&x-y&0\\\noalign{\medskip}0&0&0&-x+y&x-y
\\\noalign{\medskip}0&0&0&0&-{\frac {3\,yx-4\,{y}^{2}+{x}^{2}}{y}}
\end {array} \right]
[/mm]
Die Determinante ist ja nun gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen.
So weit bin ich. Aber um jetzt zu einer Determinante für die gesamte Matrix zu kommen, müsste ich in der Hauptdiagonalen ein Muster erkennen, um dann auf die anderen Elemente schließen zu können. Dies will mir aber nicht gelingen.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Gruß
Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Di 05.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du hast noch eine andere Möglichkeit, um die Determinante zu berechnen.
Versuche es doch einmal mit der La Place Entwicklung .
Vielleicht funktioniert das ja.
MfG
barsch
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