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Beweis Binominalkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Mo 09.10.2006
Autor: Fabian

Aufgabe
Man bestätige für [mm] n\in\IN_{0}: [/mm]

[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{m+k \\ k}=\vektor{m+n+1 \\ n};m\in\IN_{0} [/mm]

Hallo,

ich habe leider keine Ahnung, wie ich da rangehen soll. Muß ich das etwa mit vollständiger Induktion beweisen? Wenn ja, wie fange ich da denn an? Oder geht das auch anders?

Vielen Dank für eure Antworten!

Gruß Fabian


        
Bezug
Beweis Binominalkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 Mo 09.10.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo Fabian!


> Man bestätige für [mm]n\in\IN_{0}:[/mm]
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{m+k \\ k}=\vektor{m+n+1 \\ n};m\in\IN_{0}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich habe leider keine Ahnung, wie ich da rangehen soll. Muß
> ich das etwa mit vollständiger Induktion beweisen? Wenn ja,
> wie fange ich da denn an? Oder geht das auch anders?


Also ob es auch anders geht, weiß ich im Moment nicht, aber mit der Induktion geht es.


Da hier die 0 Teil der natürlichen Zahlen ist, kannst du auch dort ansetzen.


[mm]\underline{\texttt{Induktionsanfang }(n=0)}:[/mm]


[mm]\sum_{k=0}^{0}{\binom{m+k}{k}}=\binom{m}{0}=1=\binom{m+0+1}{0}\quad\checkmark[/mm]


Unter der Annahme das die Aussage gilt, machen wir dann den


[mm]\underline{\texttt{Induktionsschritt }(n\leadsto n+1):}[/mm]


[mm]\sum_{k=0}^{n+1}{\binom{m+k}{k}}=\binom{m+n+1}{n+1}+\sum_{k=0}^n{\binom{m+k}{k}} \mathop =^{\texttt{I.A.}} \binom{m+n+1}{n+1} + \binom{m+n+1}{n}[/mm]


So ... und jetzt lese dir den []Wiki-Artikel zum Pascalschen Dreieck durch. Dort ist eine Formel, die den Beweis zu einem guten Ende führen kann. :-)



Grüße
Karl
[user]




Bezug
                
Bezug
Beweis Binominalkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Di 10.10.2006
Autor: Fabian

Hallo Karl Pech,

danke für deine Antwort. Aber aus dem Wiki Artikel werd ich nicht schlau! Ich weiß nicht wie ich weitermachen soll?

Viele Grüße

Fabian
Bezug
                        
Bezug
Beweis Binominalkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Mi 11.10.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo Fabian,


> danke für deine Antwort. Aber aus dem Wiki Artikel werd ich
> nicht schlau! Ich weiß nicht wie ich weitermachen soll?


Ich stelle die Formel aus dem Wiki-Artikel und dem letzten Term aus dem Beweis mal nebeneinander:


[mm]\renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{array}{rl} \texttt{Term aus Beweis:} & \displaystyle\binom{\textcolor{red}{m+n+1}}{\textcolor{blue}{n+1}} + \binom{\textcolor{red}{m+n+1}}{\textcolor{green}{n}}\\ \texttt{Wiki-Formel:} & \displaystyle\binom{n}{\textcolor{blue}{k}} = \binom{\textcolor{red}{n-1}}{\textcolor{green}{k-1}} + \binom{\textcolor{red}{n-1}}{\textcolor{blue}{k}} \end{array},[/mm]


wobei [mm]n = \textcolor{red}{n-1}+1[/mm] ist.



Viele Grüße
Karl




Bezug
                                
Bezug
Beweis Binominalkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Mi 11.10.2006
Autor: Fabian

Hallo Karl Pech [anbet]

jetzt habe ich es gerafft [lichtaufgegangen] !!!

Das hast du echt super erklärt! Nicht zuviel verraten, so dass ich noch selber überlegen musste.

Vielen Dank!

Viele Grüße

Fabian
Bezug
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