Beweis Binomialquotient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 04.11.2012 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage durch vollständige Induktion:
[mm] \forall n\in\IN \forall k\in\IN [/mm] : [mm] \summe_{m=0}^{k}\vektor{n+m\\n}=\vektor{n+k+1\\n+1}
[/mm]
und veranschaulichen Sie diesen Zusammenhang im Pascalschen Dreieck. |
Hallo
Ich sitze jetzt schon so dritte Stunde an dem Beweis und würde mich über ein Tipp freuen.
IA:
[mm] k_{0}=1 [/mm]
[mm] \vektor{n\\n}+\vektor{n+1\\n}=n+1
[/mm]
[mm] \vektor{n+1+1\\n+1}=\vektor{n+2\\n+1}=n+1
[/mm]
IV:
[mm] \summe_{m=0}^{k}\vektor{n+m\\n}=\vektor{n+k+1\\n+1}
[/mm]
IB:
[mm] \summe_{m=0}^{k+1}\vektor{n+m\\n}=\vektor{n+k+2\\n+1}
[/mm]
IS:
[mm] \summe_{m=0}^{k+1}\vektor{n+m\\n}=\summe_{m=0}^{k}\vektor{n+m\\n}+\vektor{n+k+1\\n}
[/mm]
[mm] =\vektor{n+k+1\\n+1}+\vektor{n+k+1\\n}=\frac{(n+k+1)!}{(n+1)!k!}+\frac{(n+k+1)!}{n!(k+1)!}
[/mm]
[mm] =\frac{(n+k)!(n+k+1)}{n!(n+1)!k!}+\frac{(n+k)!(n+k+1)}{n!(k+1)!}
[/mm]
[mm] =\frac{(n+k+1)!((k+1)!+(n+1)!)}{(n+1)!(k+1)!}
[/mm]
Und jetzt habe ich es mit der Formel:
[mm] \vektor{n_{1}\\k_{1}}=\frac{n_{1}!}{k_{1}!(n_{1}-k_{1})!} [/mm] verglichen:
[mm] k=(n_{1}+1)
[/mm]
[mm] n=(n_{1}+k_{1}+2) [/mm]
k+1=(n+k+2-n-1)=k+1 Das passt mit dem was rauskommen soll
(n+k+1)!((k+1)!+(n+1)!)=(n+k+2)!und von Hier komme ich nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 So 04.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweisen Sie folgende Aussage durch vollständige
> Induktion:
> [mm]\forall n\in\IN \forall k\in\IN[/mm] :
> [mm]\summe_{m=0}^{k}\vektor{n+m\\n}=\vektor{n+k+1\\n+1}[/mm]
> und veranschaulichen Sie diesen Zusammenhang im
> Pascalschen Dreieck.
> Hallo
> Ich sitze jetzt schon so dritte Stunde an dem Beweis und
> würde mich über ein Tipp freuen.
> IA:
> [mm]k_{0}=1[/mm]
> [mm]\vektor{n\\n}+\vektor{n+1\\n}=n+1[/mm]
> [mm]\vektor{n+1+1\\n+1}=\vektor{n+2\\n+1}=n+1[/mm]
> IV:
> [mm]\summe_{m=0}^{k}\vektor{n+m\\n}=\vektor{n+k+1\\n+1}[/mm]
> IB:
> [mm]\summe_{m=0}^{k+1}\vektor{n+m\\n}=\vektor{n+k+2\\n+1}[/mm]
> IS:
>
> [mm]\summe_{m=0}^{k+1}\vektor{n+m\\n}=\summe_{m=0}^{k}\vektor{n+m\\n}+\vektor{n+k+1\\n}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{n+k+1\\n+1}+\vektor{n+k+1\\n}=\frac{(n+k+1)!}{(n+1)!k!}+\frac{(n+k+1)!}{n!(k+1)!}[/mm]
Soweit OK.
> [mm]=\frac{(n+k)!(n+k+1)}{n!(n+1)!k!}+\frac{(n+k)!(n+k+1)}{n!(k+1)!}[/mm]
Falsch. Der Nenner des ersten Summanden ist $n!(n+1)k!$ Außerdem ist es unnötig, den Zähler umzuformen, der ist ja in beiden Summanden gleich.
Du erweiterst den ersten Summanden mit $(k+1)$, den zweiten mit $(n+1)$:
[mm] = \bruch{ (n+k+1)!(k+1) + (n+k+1)!(n+1)}{(n+1)!(k+1)!} = \bruch{(n+k+1)!(k+1+n+1)}{(n+1)!(k+1)!} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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