Bew: kompakt => folgenkompakt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Jorgi |
| Aufgabe | | Sei [mm]X[/mm] ein metrischer Raum. Eine Teilmenge $K [mm] \subset [/mm] X$ ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in [mm] K\mm [/mm] einen Häufungspunkt besitzt (und damit eine konvergente Teilfolge) |
Guten Tag,
Was mich interessiert ist nur eine Richtung, und zwar
[mm] $"\Rightarrow"$
[/mm]
Führen wir einen Widerspruchsbeweis.
Also nehmen wir an, $K$ sei kompakt, und es gebe eine Folge [mm] x_n\mm [/mm] in $K$, die keinen Häufungspunkt besitzt.
Zur Erinnerung, Häufungspunkt haben wir defininiert als ein Element mit folgender Eigenschaft: jede beliebige Umgebung des Elements enthält unendlich viele Folgenglieder.
Zu jedem [mm] x\in K\mm [/mm] finden wir dann eine offene Umgebung [mm] U_x\mm [/mm] von [mm] x\mm, [/mm] so dass [mm] U_x\mm [/mm] nur endlich viele Folgenglieder enthält.
Ferner bilden diese [mm] U_x\mm [/mm] eine offene Überdeckung von K.
Da K kompakt ist, finden wir endlich viele [mm]x_0, ..., x_m \in K[/mm], so dass K von [mm]\{U_{x_{k}} | k=0,...,m\}[/mm] überdeckt wird.
Da jedes dieser [mm]U_{x_{k}}[/mm] nur endlich viele Folgenglieder enthält, folgt dass sich in K nur endlich viele Folgenglieder befinden.
Also für mich endet dieser Beweis an dieser Stelle, ich sehe hier nämlich folgenden Wiederspuch:
Nach Voraussetzung ist die Folge [mm] x_n\mm [/mm] in K, d.h sie befindet sich komplett drin, also insbesondere unendlich Folgenglieder.
Ist so eine Argumentation richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich denke, dass Deine Argumentation korrekt ist. Nur WIEDERSPRUCH bitte nicht mit IE schreiben, es ist ein WIDERSPRUCH, es spricht GEGEN etwas.
Wenn man ganz genau sein will, muss man noch begründen, warum nur endlich viele Folgenglieder in K sein können:
Das liegt einfach daran:
Weil die [mm] U_{x_{0}}, [/mm] ..., [mm] U_{x_{m}} [/mm] K überdecken, in jedem der [mm] U_{x_{i}} [/mm] (i=0,...,m) nur endlich viele Folgenglieder liegen, enthält die endliche Vereinigung
[mm] V:=\bigcup_{i=1}^{m}U_{x_i}
[/mm]
nur endlich viele Folgenglieder, und K ist Teilmenge dieser Vereinigung, enthält dann also sicherlich höchstens genauso viele Folgenglieder wie V, und damit insbesondere höchstens endlich viele.
Wie geht denn der Beweis zu Ende? Vielleicht übersehe(n) ich (und Du) ja eine Kleinigkeit?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Jorgi |
ok, ich fahre den Beweis fort, so wie er dem Leser im Buch vorgestellt wird.
......... tralalala , also enthält K nur endlich viele Folgenglieder, und besitzt folglich keinen Häfungspunkt.
diesen Zusatz verstehe ich nicht. Mit dem am Ende erwähnten Häufungspunkt ist wohl der Häufungspunkt der Menge K gemeint (also nicht der Folge).
Der Häufungspunkt einer Menge [mm]K \subset X[/mm] ist hier definiert als ein Element [mm]x\in X[/mm], so dass jede Umgebung von [mm] x\mm [/mm] einen von [mm] x\mm [/mm] verschiedenen Punkt enthält
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ja, das ist schlecht ausgedrückt. Ich glaube, es ist eigentlich so bzw. ähnlich gemeint, wie Du es sagst, im Buch aber schlecht formuliert:
Von der Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] liegen dann nur endlich viele Folgenglieder in K. Dann kann diese Folge aber insbesondere keinen Häufungspunkt in K haben.
(Hätte sie nämlich einen Häufungspunkt k [mm] \in [/mm] K, so gäbe es eine Umgebung U [mm] \subset [/mm] K von k, so dass alleine in U schon [mm] \infty [/mm] viele Folgenglieder enthalten wären, also wären auch in K [mm] \infty [/mm] viele enthalten.)
P.S.: Ich glaube nicht, dass es generell um einen Häufungspunkt der Menge K geht. Ich meine, wenn Du
$M:=[0,1] [mm] \cup \IN$
[/mm]
und die Folge [mm] (\frac{1}{n} )_{n \in \IN}
[/mm]
betrachtest, so heißt das ja nicht, nur weil diese Folge keinen HP in M hat (sie hat ja überhaupt keinen), dass M keinen HP hat.
Gruß,
Marcel
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