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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Do 15.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Sagt mal, die Aufgabe
| x² - 4 | [mm] \le [/mm] x + 2
kann man die formal mit Vereinigungsmengen und des daraus resultierenden Vereinigungsintervalls rechnen???
Ich hab' bei dieser (ECHT trivialen) Aufgabe SO ein Brett vorm Kopf.
Ich weiß ja wie das Intervall lautet ({-2} [mm] \cup [/mm] [1 ; 3]), nur formal ist's nicht "schön" bzw. sogar falsch!
Bitte rechnet die mir einer mal formal (Fallunterscheidung) vor.
Ich weiß nicht wo ich irgendwie falsch liegen könnte!?
Danke!
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| x² - 4 | [mm]\le[/mm] x + 2
Die Fallunterscheidung ist:
I. x² - 4 [mm]\le[/mm] x + 2 mit: [mm] x^2-4\ge0
[/mm]
II: -(x² - 4) [mm]\le[/mm] x + 2 mit: [mm] x^2-4<0 [/mm]
I. x² -x- 6 [mm]\le[/mm] 0 mit: [mm] x^2-4\ge0
[/mm]
II: -x² + 4 [mm]\le[/mm] x + 2 mit: [mm] x^2-4<0
[/mm]
I. x² -x- 6 [mm]\le[/mm] 0 mit: [mm] x^2-4\ge0
[/mm]
II: -x² -x + 2 [mm]\le[/mm] 0 mit: [mm] x^2-4<0
[/mm]
Jetzt die Zusatzbedingung lösen:
I. x² -x- 6 [mm]\le[/mm] 0 mit: [mm] x^2\ge4
[/mm]
II: -x² -x + 2 [mm]\le[/mm] 0 mit: [mm] x^2<4
[/mm]
I. x² -x- 6 [mm]\le[/mm] 0 mit: [mm] (-\infty,-2] [/mm] und [mm] [2,\infty)
[/mm]
II: -x² -x + 2 [mm]\le[/mm] 0 mit:(-2,2)
Jetzt die Lösungen kombinieren:
I. L=[-2,3] [mm] \cap [/mm] ( [mm] (-\infty,-2] \cup [2,\infty))
[/mm]
II. [mm] L=((-\infty,-2)\cup (1,\infty)) \cap [/mm] (-2,2)
I. [mm] L={-2}\cup[2,3)
[/mm]
II. L=(1,2)
[mm] L=I\capII={-2}\cup(1,3)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 Fr 16.11.2007 | | Autor: | Salomon |
Danke für die schnelle Antwort, aber:
Irgendwas stimmt bei dir nicht!
-x² - x + 2 = -(x + 2)(x - 1) [mm] \le [/mm] 0
[mm] \rightarrow [/mm] (x + 2)(x -1) [mm] \ge [/mm] 0
Ok?
Dann folgt aber für die Intervalle ohne Bedingung:
[-2 ; [mm] \infty [/mm] ) [mm] \cup [/mm] [1 ; [mm] \infty [/mm] )
Ist das korrekt?
Jetzt [mm] \cap [/mm] mit (-2 ; 2) folgt:
[-2 ; 2) [mm] \cup [/mm] [1; 2) = [mm] I_{1}
[/mm]
Für das zweite Gedöns (x² - x - 6) [mm] \le [/mm] 0 ergibt sich das Intervall
[mm] I_{2} [/mm] = (- [mm] \infty [/mm] ; -2] [mm] \cup [/mm] [2 ; 3] (nicht {-2}!..., da x [mm] \le [/mm] - 2 das Intervall vorne ergibt!)
Soweit so gut. Das würde ja alles noch stimmen wenn man das Gesamtintervall aus der SCHNITTmenge beider Intervalle bilden würde - nur gilt, dass man für das Endintervall die Einzelintervalle vereinigen soll!
Was nun? Wo IST mein Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 16.11.2007 | | Autor: | Psychopath |
> Irgendwas stimmt bei dir nicht!
>
> -x² - x + 2 = -(x + 2)(x - 1) [mm]\le[/mm] 0
> [mm]\rightarrow[/mm] (x + 2)(x -1) [mm]\ge[/mm] 0
> Ok?
Nein, stimmt nicht.
Die Lösungen der Gleichung sind -2 und 1, also heißt die Linearfaktorenzerlegung:
(x+2)(x-1) und nicht -(x+2)(x-1)
Grüße
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