Betragsungleichung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mi 20.10.2004 | | Autor: | peter |
Hi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe da 2 Aufgaben die ich lösen muss.Es sind Ungleichungen mit Beträgen.Die eine lautet:|x|+|y|<1
Die Aufgabe habe ich schon mal irgendwann gerechnet weiss aber leider nicht mehr wie es geht da mein Matheschein schon eine Weile zurückliegt.Ich glaube man muss 4 Fälle
berücksichtigen.Die andere lautet |x+y|<1
Bei der 1. aufg habe ich schon mal den ansatz aus alten zeiten:
1.fall falls x>o und y >0 ist
2.fall falls x<0 und y >0 ist
3.fall falls x<0 und y<0 ist
4.fall falls x>0 und y <0 ist
was ich gar nicht mehr weiss ist warum ich die fälle berücksichtigen muss
falls x oder y < 0 sind ich denke icn betragsstrichen kann nicht kleiner
0 werden .
Ich hoffe mal das mir da jemand helfen kann.
mfg
Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:08 Do 21.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Peter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe da 2 Aufgaben die ich lösen muss.Es sind
> Ungleichungen mit Beträgen.Die eine lautet:|x|+|y|<1
> Die Aufgabe habe ich schon mal irgendwann gerechnet weiss
> aber leider nicht mehr wie es geht da mein Matheschein
> schon eine Weile zurückliegt.Ich glaube man muss 4 Fälle
>
> berücksichtigen.Die andere lautet |x+y|<1
> Bei der 1. aufg habe ich schon mal den ansatz aus alten
> zeiten:
> 1.fall falls x>o und y >0 ist
> 2.fall falls x<0 und y >0 ist
> 3.fall falls x<0 und y<0 ist
> 4.fall falls x>0 und y <0 ist
> was ich gar nicht mehr weiss ist warum ich die fälle
> berücksichtigen muss
Die Fälle, die man bei (Un-) Gleichungen mit Beträgen unterscheiden muss, richten sich danach, wann das Argument des Betrags negativ oder nicht-negativ ist.
Diese Fallunterscheidung wird schon direkt bei der Definition des  Betrags deutlich.
Nehmen wir ein einfaches Beispiel: |x-1|<2.
Wenn nun das Argument des beteiligten Betrags, also x-1, nicht-negativ ist, dann lautet diese Ungleichung einfach x-1<2.
Wenn es aber negativ ist, dann lautet die Ungleichung: -(x-1)<2.
Nun hat man zwar zwei Ungleichungen, aber beide sind sehr einfach zu lösen.
Treten mehrere Beträge auf, so sollte man --wie in deiner ersten Aufgabe-- jede Kombination von negativ/nicht-negativen Argumenten einzeln untersuchen, weil für die Darstellung der dann resultierenden Ungleichung keine Betragsstriche mehr nötig sind.
> falls x oder y < 0 sind ich denke icn betragsstrichen
> kann nicht kleiner
> 0 werden .
Das stimmt zwar, aber auf den Wert des Betrages kommt es ja nicht an, sondern auf das Argument des Betrags, also das, was zwischen den Betragstrichen steht.
Für den 2. Fall deiner obigen Fallunterscheidung rechne ich es dir mal vor:
|x|+|y|<1
1. Fall:...
2. Fall: x<0 und y>0
Wegen x<0 hat |x| den Wert -x, es gilt also: |x|=-x.
Wegen y>0 hat |y| den Wert y, es gilt also: |y|=y.
Die Ungleichung lautet also: [mm] $\gdw$ [/mm] -x+y<1 [mm] $\gdw$ [/mm] y<1+x
Die Lösung dieser Ungleichung (für diesen 2. Fall) könnte man in einem Koordinatensystem skizzieren (das türkisfarbene Dreieck ist die Lösungsmenge):
[Dateianhang nicht öffentlich]
(beachte, dass die Punkkoordinaten die drei Ungleichungen x<0 und y>0 und y<1+x gleichzeitig erfüllen müssen)
Schaffst du die restlichen drei Fälle der ersten Aufgabe und die zweite Aufgabe nun alleine? Falls nicht, frag' einfach nach 
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Do 21.10.2004 | | Autor: | peter |
Hi Marc
Vielen Dank für die Lösung!Hat mir echt weitergeholfen.
Ich haette schon viel früher geantwortet aber als ich heute auf die Seite
wollte wurde mir immer gesagt der Server waere überlastet.
Die anderen Fälle habe ich durchgerechnet die grafische Lsg.
war beim mir dann halt so wie bei fall 2 nur halt immer verschoben im
Fkt-Graph.Hoffe mal das es so richtig ist.Vielen Dank das Du mir geholfen hast
mfg
Peter
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