Betragsungl. mit drei Beträgen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 So 04.11.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | | Löse die Betragsungleichung |x+1| + |2x+3|-|x-4| < 8 |
Hallo
hier sind ja drei Beträge, also muss ich doch 6 Fallunterscheidungen machen.
Sind diese 6 Fallunterscheidungen richtig:
Im 1. Fall sind alle drei Termen im Betrag positiv
Im 2. Fall sind die ersten zwei Terme im Betrag positiv aber der letzte Betrag negativ
Im 3. Fall ist nur der erste Betrag positiv und die anderen zwei negativ
Im 4. Fall sind alle drei Beträge negativ
Im 5. Fall sind die ersten zwei Terme negativ aber letzte Betrag positiv
Im 6. Fall ist nur der 1. Betrag negativ aber die anderen zwei positiv
Richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 So 04.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
du kannst es dir leichter machen. Wenn x+1 < 0 ist, was gilt dann z.B. für den Term x-4?
Wenn x+1 >0 ist, was gilt dann für 2x+3?
Grüße
P.s das war jetzt zu voreilig, Entschuldigung! da muss man ja trotzdem wieder 6 Fälle anschaun...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 So 04.11.2012 | | Autor: | betina |
Hallo teo
sorry aber wie habe ich deine Antwort zu verstehn?
So wie ich dich verstanden habe, ist das was ich geschrieben habe richtig, aber es ginge auch einfacher...
Wie muss ich dann vorgehen?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo teo
>
> sorry aber wie habe ich deine Antwort zu verstehn?
>
> So wie ich dich verstanden habe, ist das was ich
> geschrieben habe richtig, aber es ginge auch einfacher...
>
> Wie muss ich dann vorgehen?
>
> Danke
>
>
Hallo Betina,
die "kritischen Stellen", an denen einer der Beträge Null wird und links bzw. rechts davon der Betrag unterschiedlich aufgelöst wird, sind -1,5; -1 und 4.
Betrachte also die 4 Bereiche x<-1,5; -1,5<=x<=-1 ; -1<x<=4 und x>4 und behandle dort die Beträge entsprechend.
Bei diesem Verfahren kommst du mit 4 Fällen aus.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 So 04.11.2012 | | Autor: | betina |
Hast du oder jemand anders von euch vielleicht so ne Aufgabe mit drei Beträgen mit Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Hast du oder jemand anders von euch vielleicht so ne
> Aufgabe mit drei Beträgen mit Lösung?
Also eine Aufgabe habe ich schon mal, nämlich deine.
Die grafische Lösung hast du ebenfalls hier:
Alle Bereiche der Funktion, die unterhalb der waagerechten Linie y=8 liegen.
Gruß Abakus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 So 04.11.2012 | | Autor: | betina |
Danke für die graphische Lösung. Ich versuch mal das für die rechnerische Lösung zu übertragen.
Aber eine Frage hätte ich noch:
Wenn ich drei Bedingung habe..erstmal überdenken ob ein Intervallbereich überhaupt vorhanden ist. Erst dann darf ich weiterrechnen..
Wie sieht das aber aus wenn ich folgende drei Bedingungen habe.
1. Bedingung x [mm] \ge [/mm] -1
2. Bedingung x [mm] \ge [/mm] 0
3. Bedingung x < 1
wäre das dann so richtig? x [mm] \in [/mm] [0, 1)
Oder ich erhalte die 3 Bedingungen
1. Bedingung x [mm] \ge [/mm] -1
2. Bedingung x [mm] \ge [/mm] -1,5
3. Bedingung x [mm] \ge [/mm] 4
Heisst ja zusammengefasst [4, [mm] \infty+ [/mm] ) es ist ein Intervallbereich vorhanden. Frage ist ob das Ergebnis diese 3 Bedingungen erfüllt.
Ich erhalte dann bei dem Ergebnis kleiner 0
Heisst dann die L;sungsmenge L = [-1,0) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Danke für die graphische Lösung. Ich versuch mal das für
> die rechnerische Lösung zu übertragen.
>
> Aber eine Frage hätte ich noch:
> Wenn ich drei Bedingung habe..erstmal überdenken ob ein
> Intervallbereich überhaupt vorhanden ist. Erst dann darf
> ich weiterrechnen..
>
> Wie sieht das aber aus wenn ich folgende drei Bedingungen
> habe.
>
> 1. Bedingung x [mm]\ge[/mm] -1
> 2. Bedingung x [mm]\ge[/mm] 0
> 3. Bedingung x < 1
>
> wäre das dann so richtig? x [mm]\in[/mm] [0, 1)
Ja.
>
> Oder ich erhalte die 3 Bedingungen
> 1. Bedingung x [mm]\ge[/mm] -1
> 2. Bedingung x [mm]\ge[/mm] -1,5
> 3. Bedingung x [mm]\ge[/mm] 4
>
> Heisst ja zusammengefasst [4, [mm]\infty+[/mm] )
Richtig. Und alles, was du jetzt unter dieser Annahme berechnest, kann NUR IN DIESEM INTERVALL stattfinden.
> es ist ein
> Intervallbereich vorhanden. Frage ist ob das Ergebnis diese
> 3 Bedingungen erfüllt.
> Ich erhalte dann bei dem Ergebnis kleiner 0
Na und? Wir bewegen und gerade im Bereich der Zahlen, die größer als 4 sind. In diesem Bereich gibt es keine negativen Zahlen.
> Heisst dann die L;sungsmenge L = [-1,0) ?
Nein.
>
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Man kann die Aufgabe auch über den Zwischenwertsatz, angewandt auf die Differenzfunktion, lösen. Das Verfahren ist nicht gerade elegant, führt aber auf jeden Fall zum Ziel.
1. Schritt: Differenz der beiden Seiten bilden, Funktion festlegen
[mm]f(x) = 8 - \left| x+1 \right| - \left| 2x+3 \right| + \left| x-4 \right| \, , \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Die gegebene Ungleichung ist äquivalent zur Ungleichung [mm]f(x)>0[/mm]. Nach dem Zwischenwertsatz kann eine solche Ungleichung nur im Innern von gewissen der Intervalle bestehen, in die [mm]\mathbb{R}[/mm] durch die Nullstellen von [mm]f[/mm] eingeteilt wird. Denn [mm]f[/mm] ist eine stetige Funktion.
2. Schritt: Kandidaten für die Nullstellen bestimmen (Casting)
Beim Auflösen eines Betrages wird der Betrag durch ein Plus- oder Minuszeichen vor der Klammer ersetzt. Da wir drei Beträge haben, gibt es dafür [mm]2^3[/mm] = 8 Möglichkeiten. Man löst die einfachen linearen Gleichungen. Natürlich ist nicht jede der Lösungen eine Nullstelle von [mm]f[/mm] (da es ja vom Wert von [mm]x[/mm] abhängt, ob das Plus- oder Minuszeichen das richtige ist). Aber keine andere Zahl der Welt kann eine Nullstelle von [mm]f[/mm] sein. Wir bekommen so also die einzig möglichen Kandidaten für Nullstellen:
[mm]8 + \left( x+1 \right) + \left( 2x+3 \right) + \left( x-4 \right) = 0 \qquad \qquad \mbox{Lösung:} \ x = -2[/mm]
[mm]8 + \left( x+1 \right) + \left( 2x+3 \right) - \left( x-4 \right) = 0 \qquad \qquad \mbox{Lösung:} \ x = -8[/mm]
[mm]8 + \left( x+1 \right) - \left( 2x+3 \right) + \left( x-4 \right) = 0 \qquad \qquad \mbox{unlösbar}[/mm]
[mm]8 + \left( x+1 \right) - \left( 2x+3 \right) - \left( x-4 \right) = 0 \qquad \qquad \mbox{Lösung:} \ x = 5[/mm]
[mm]8 - \left( x+1 \right) + \left( 2x+3 \right) + \left( x-4 \right) = 0 \qquad \qquad \mbox{Lösung:} \ x = -3[/mm]
[mm]8 - \left( x+1 \right) + \left( 2x+3 \right) - \left( x-4 \right) = 0 \qquad \qquad \mbox{unlösbar}[/mm]
[mm]8 - \left( x+1 \right) - \left( 2x+3 \right) + \left( x-4 \right) = 0 \qquad \qquad \mbox{Lösung:} \ x = 0[/mm]
[mm]8 - \left( x+1 \right) - \left( 2x+3 \right) - \left( x-4 \right) = 0 \qquad \qquad \mbox{Lösung:} \ x = 2[/mm]
Der Größe nach geordnet haben wir die folgenden Kandidaten für Nullstellen: -8,-3,-2,0,2,5
3. Schritt: Nullstellen durch Probe aussortieren (Entscheid)
[mm]f(-8) = 0 \, , \ \ f(-3) = 10 \, , \ f(-2)=12 \, , \ f(0)=8 \, , \ f(2) = 0 \, , \ f(5) = -10[/mm]
Nullstellen von [mm]f[/mm] sind also nur -8 und 2.
4. Schritt: Intervallaufteilung und Vorzeichenprobe
[mm](-\infty,-8] \cup [-8,2] \cup [2,\infty)[/mm]
Im Innern des ersten Intervalls ist [mm]f(x)<0[/mm] wegen [mm]f(-10) = -4[/mm]
Im Innern des zweiten Intervall ist [mm]f(x)>0[/mm] wegen [mm]f(0)=8[/mm]
Im Innern des dritten Intervalls ist [mm]f(x)<0[/mm] wegen [mm]f(5)=-10[/mm]
5. Schritt: Lösungsmenge der Ungleichung angeben
Genau die Zahlen des Intervalls [mm]I = (-8,2)[/mm] sind die Lösungen der Ungleichung.
Natürlich kommt man mit Nachdenken schneller zum Ziel als mit diesem sturen Verfahren, wo man unter Umständen viel zu viele kritische Werte berechnet. Aber immerhin - es ist ein Algorithmus, der funktioniert. Immer.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 So 04.11.2012 | | Autor: | betina |
Ein + [mm] \infty [/mm] riesiges Dankeschön an euch!!!!!
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