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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Di 25.09.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion im Nullpunkt nicht differenzierbar ist, skizzieren Sie auch den Verlauf des Funktionsgraphen.
a) $f(x)= x + |x|$ [mm] $(x\in\IR)$ [/mm] b) $f(x)= |sin x|$ [mm] $(x\in\IR)$ [/mm] |
Hallo,
ich muss nun überprüfen ob der Grenzwert bei x0=0 einen eindeutig bestimmten Wert annimmt, wenn nicht dann nicht differenzierbar. Dazu kann ich doch für x = x0-h schreien (h<0) für linksseitigen Grenzwert und x = x0+h (h>0) für rechtsseitigen Grenzwert, wenn Übereinstimmung nach differenzierbar.
a)
$ms(h) = [mm] \bruch{f(x0-h)-f(x0)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{x0-h+|x0-h|-0}{h} [/mm] = [mm] \bruch{2x0-2h}{h} [/mm] = [mm] \bruch{2x0}{h} [/mm] - [mm] \bruch{2h}{h}$
[/mm]
$mt(h) = [mm] \limes_{h \to \ 0} \bruch{2x0}{h} [/mm] - [mm] \bruch{2h}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h \to \ 0} \bruch{2x0}{h} [/mm] - [mm] \limes_{h \to \ 0} [/mm] 2 = -2$
$ms(h) = [mm] \bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} [/mm] = [mm] \bruch{x0+h+|x0+h|-0}{h} [/mm] = [mm] \bruch{2x0+2h}{h} [/mm] = [mm] \bruch{2x0}{h} [/mm] + [mm] \bruch{2h}{h}$
[/mm]
$mt(h) = [mm] \limes_{h \to \ 0} \bruch{2x0}{h} [/mm] + [mm] \bruch{2h}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h \to \ 0} \bruch{2x0}{h} [/mm] + [mm] \limes_{h \to \ 0} [/mm] 2 = 2$
also nicht differenzierbar, stimmt das so? und wie zeichne ich den Graphen, gibt es eine elegantere Lösung als für x Werte einzusezen um y zu bestimmen?
b) wie soll dies hier funktieren? ich komm mit dem sin nicht klar. im endeffekt wie bei a) oder?
Vielen Dank.
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Hallo!
Zunächst solltest du die Funktion in einer Fallunterscheidung aufspalten. Für x<0 wird die Funktion doch zu f(x)=0, und für x>0 wird sie zu f(x)=2x. Damit kannst du die Funktion auf jeden Fall schonmal zeichnen, und den rechts- und linksseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten kannst du direkt ablesen, und weißt daher auch, was bei der Rechnung raus kommt.
Bei der b) mußt du genauso vorgehen. Der sin hat z.B. bei x ne Nullstelle, rechst davon ist deine Funktion eben sin(x), links davon -sin(x). Allerdings muß ich gestehen, daß ich grade NICHT weiß, wie die Sinüsse mit dem h im Nenner verrechnet werden, ohne richtige Ableitungen zu verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Mi 26.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
danke für die Antwort. bei a) okay egal welches x<0 eingesetzt wird die funktion wird f(x)=0 weil die Betragsstriche aus jeder negativen Zahl eine positive macht und somit immer null rauskommt. und bei x>0 wird die funktion f(x)=2x, hier sind die betragsstriche aussen vor zulassen, weil positiv bleibt positiv somit fallen die betragsstriche weg f(x)=x+|x|= x+x = 2x. wie beschreibe ich dass dann? etwa so:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }x\mbox{ <0} \\
2x, & \mbox{wenn }x\mbox{ >0}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Nun kann ich aus der Zeichnung ablesen, dass der Grenzwert bei Null liegen müsste wenn differenzierbar. Für x<0 also von links (0+h) und von rechts (0-h), wie kann ich dann mit der "h-Methode" dies berechnen, hierbei komm ich mit den Betragsstrichen nicht klar. bei x>0 ist f(x)=2x also 2+/-h, oder? Um somit zu zeigen dass es nicht differenzierbar ist.
gibt es da regeln zum rechnen für solche betragsfunktionen? also zum beispiel für f(x)=x+|x²| oder nicht? wie kann ich bei dieser funktion f(x)=|x²-1| eine fallunterscheidung vornehmen um diese zu zeichnen und zu rechnen?
b) ich hab die funktion mal geplottet und diese hat bei x=0 eine Nullstelle also -sin+/-h und sin+/-h, wie rechne ich nun mit der "h-Methode" weiter? Ich brauche doch bestimmt die Additionstheoreme. Vielen Dank im Voraus.
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> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }x\mbox{ <0} \\
2x, & \mbox{wenn }x\mbox{ >0}
\end{matrix}\right.[/mm]
Hallo,
genau, so kannst Du f(x)=x+|x| stückweise definieren.
Du siehst, daß der Graph überall glatt (=differenzierbar) ist, bis auf eine einzige Stelle, die Stelle x=0. Hier hat der Graph eine Spitze, und die Stellen mit Spitzen und Knicken sind anschaulich die Stellen, an denen stetige Funktionen nicht differenzierbar sind.
Warum nun ist f(x) an der Stelle 0 nict diffbar? Die Ableitung ist die Tangente, und Du kannst an der Stelle x=0 Dein Lineal nicht "gescheit" anlegen. wo sollst Du es hinlegen? An die Spitze? Dort wackelt es umher, viele Lagen sind dort denkbar.
Du willst nun die Grenzwerte des Differenzenquotienten von links und rechts bestimmen.
Guck Dir den Graphen an: links von 0 hast Du die Steigung 0, rechts die Steigung 2. Also verschieden, also nicht differenzierbar in 0.
Ich habe das jetzt absichtlich etwas anschaulich erzählt, damit Du in etwa weißt, was Du rechnest, und dies dann am Graphen wiederfindest.
Grenzwert von links: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0-h)-f(0}{h}= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(-h)-f(0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0-f(0}{h}=...
[/mm]
Grenzwert von rechts: [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h)-f(0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h)-f(0}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{2h-f(0}{h}=...
[/mm]
>
> Nun kann ich aus der Zeichnung ablesen, dass der Grenzwert
> bei Null liegen müsste wenn differenzierbar. Für x<0 also
> von links (0+h) und von rechts (0-h), wie kann ich dann mit
> der "h-Methode" dies berechnen, hierbei komm ich mit den
> Betragsstrichen nicht klar.
Du hast die Funktion nun ja stattdessen stückweise definiert, da kommen Deine Betragsstriche, (welche ja nur eine Abkürzung für die stückweise Definition sind,) gar nicht vor.
>bei x>0 ist f(x)=2x
also ist f(0+h)=2*(0+h),
und für x< 0 ist f(x)=0,
also f(0-h)=f(-h)=0.
> gibt es da regeln zum rechnen für solche betragsfunktionen?
> also zum beispiel für f(x)=x+|x²| oder nicht? wie kann ich
> bei dieser funktion f(x)=|x²-1| eine fallunterscheidung
> vornehmen um diese zu zeichnen und zu rechnen?
Der Schlüssel ist die stückweise Definition.
Nehmen wir f(x)=|x²-1| .
Was sagt das?
Es sagt: wenn [mm] x^2-1 \ge [/mm] 0, dann ist [mm] f(x)=x^2-1, [/mm]
und wenn [mm] x^2-1<0, [/mm] dann ist [mm] f(x)=-(x^2-1),
[/mm]
also schön hingeschrieben
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } x^2-1 \ge 0 \mbox{ } \\ -(x^2-1), & \mbox{für } x^2-1<0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Das ist nun aber noch nicht sehr handlich, und daher treibt man das Ganze etwas weiter, indem man sich nun überlegt:
Für welche x ist [mm] x^2-1\ge [/mm] 0? Antwort:für [mm] x\le [/mm] -1 und für [mm] x\ge [/mm] 1
Für welche x ist [mm] x^2-1 [/mm] <0? Antwort: für -1<x<1.
Somit können wir die Funktion schreiben als
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \mbox{für } x\le -1 \mbox{ und für }x\ge 1 \mbox{ } \\ -(x^2-1), & \mbox{für } -1
womit man nun recht behaglich arbeiten kann.
>
>
> b) ich hab die funktion mal geplottet und diese hat bei x=0
> eine Nullstelle also -sin+/-h und sin+/-h, wie rechne ich
> nun mit der "h-Methode" weiter?
Jetzt erstmal vom Gefühl her: ist die Funktion an der Stelle x=0 diffbar?
Nun sag, welches die Steigung von rechts ist, und welches die von links? Sind die gleich?
Ich bin mir nicht sicher, daß Ihr das immer mit der h-Methode machen müßt. Eigentlich reicht hier Grenzwert der Ableitung v. oben und Grenzwert der Ableitung von unten - aber da hat der Lehrer das letzte Wort.
Wenn Du es mit h machst, brauchst Du die Additionstheoreme, welche Du nachschlagen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Mi 26.09.2007 | | Autor: | itse |
> > b) ich hab die funktion mal geplottet und diese hat bei x=0
> > eine Nullstelle also -sin+/-h und sin+/-h, wie rechne ich
> > nun mit der "h-Methode" weiter?
>
> Jetzt erstmal vom Gefühl her: ist die Funktion an der
> Stelle x=0 diffbar?
>
> Nun sag, welches die Steigung von rechts ist, und welches
> die von links? Sind die gleich?
>
> Ich bin mir nicht sicher, daß Ihr das immer mit der
> h-Methode machen müßt. Eigentlich reicht hier Grenzwert der
> Ableitung v. oben und Grenzwert der Ableitung von unten -
> aber da hat der Lehrer das letzte Wort.
>
> Wenn Du es mit h machst, brauchst Du die Additionstheoreme,
> welche Du nachschlagen kannst.
>
> Gruß v. Angela
Hallo,
wenn ich die Funktionen -sin(x) und sin(x) plotte dann ist die Steigung von links -1,5 und von rechts +1,5, ich glaube nicht dass es differenzierbar ist.
für [mm] $0
[mm] $-\pi
von links (h<0)
[mm] $\limes_{h \to \ 0-}\bruch{f(h)-f(0)}{h}= \limes_{h \to \ 0-}\bruch{-sin h}{h} [/mm] = -cos 0 = -1$
von rechts (h>0)
[mm] $\limes_{h \to \ 0+}\bruch{f(h)-f(0)}{h}= \limes_{h \to \ 0+}\bruch{sin h}{h} [/mm] = cos 0 = 1$
[Dateianhang nicht öffentlich]
somit ist bewiesen dass die Funktion sin(x) in x=0 nicht differenzierbar ist. Probleme hab ich noch mit dem von links und rechts an die gewünschte Stelle annähern. von links muss doch eigentlich x+h für heißen, weil links negativ ist und somit zu Null wandert und von rechts umgekehrt. Welche Zahl muss ich eigentlich für x einsetzen? Die Steigung der einzelnen Funktionen wenn ich diese stückweise differenziert habe? Ich glaube man muss doch die Zahl einsetzen bei der man überprüfen will ob an dieser Stelle differenzierbar ist, oder doch nicht? Zum Beispiel bei a) wäre es dann nur 0+/-h gewesen, warum also 2-h, muss nach in diesem Fall die Steigung hernehmen?
Ich kenn denn linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert von den Folgen und Reihen her, da war dies irgendwie greifbarer und verständlicher. Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> wenn ich die Funktionen -sin(x) und sin(x) plotte dann ist
> die Steigung von links -1,5 und von rechts +1,5,
Na! Damit widersprichst Du dem, was Du unten selbst ausrechnest. Die Steigung ist -1 bzw. 1.
(Du weißt ja sicher auch, daß der cos die Ableitung des sin ist, daher kann ja gar keine Steigung v. 1.5 vorkommen.)
Aber ansonsten hast Du es prima gemacht: die Funktion stückweise definiert, und dann die Grezwerte von links und von rechts.
> somit ist bewiesen dass die Funktion sin(x) in x=0 nicht
> differenzierbar ist.
Die Funktion |sin(x)| wolltest Du sicher schreiben...
> Probleme hab ich noch mit dem von
> links und rechts an die gewünschte Stelle annähern. von
> links muss doch eigentlich x+h für heißen, weil links
> negativ ist und somit zu Null wandert und von rechts
> umgekehrt.
Hui, jetzt muß ich aufpassen, weil ich links und rechts ehe nur schwer unterscheiden kann.
Wenn es sich von unten der Stelle x nähert, heißt es x-h.
Warum? Du machst h ja immer kleiner, h geht gegen Null.
Wenn h noch recht groß ist, ist x-h recht weit links von x. Mit einem kleinerern h rückt's näher heran, bis es schließlich ganz beim x ist.
> Welche Zahl muss ich eigentlich für x einsetzen?
Die Stelle, für welche Du die Diffbarkeit überprüfst. Im konkreten Fall war das x=0.
Hättest Du die Diffbarkeit für x=2 überprüfen sollen, hättest Du x=2 einsetzen müssen.
> Ich kenn denn linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert
> von den Folgen und Reihen her, da war dies irgendwie
> greifbarer und verständlicher. Für eine Erklärung wäre ich
> sehr dankbar.
Es ist hier sehr ähnlich wie bei der Stetigkeit. Dort interessiert man sich für den Grenzwert des Funktionswertes an der untersuchten Stelle.
Bei der Diffbarkeit interessiert der Grenzwert des Differenzenquotienten an der untersuchten Stelle.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mi 26.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > Probleme hab ich noch mit dem von
> > links und rechts an die gewünschte Stelle annähern. von
> > links muss doch eigentlich x+h für heißen, weil links
> > negativ ist und somit zu Null wandert und von rechts
> > umgekehrt.
>
> Hui, jetzt muß ich aufpassen, weil ich links und rechts ehe
> nur schwer unterscheiden kann.
>
> Wenn es sich von unten der Stelle x nähert, heißt es x-h.
>
> Warum? Du machst h ja immer kleiner, h geht gegen Null.
> Wenn h noch recht groß ist, ist x-h recht weit links von
> x. Mit einem kleinerern h rückt's näher heran, bis es
> schließlich ganz beim x ist.
man nehme an x=3 und diesem Wert will ich mich nun nähern. von links bedeutet für mich negativ (<0) und von rechts beudetet für mich positiv(>0). somit von links 3+h und von rechts 3-h, oder hab ich da einen denkfehler drinnen? Vielen Dank nochmals.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mi 26.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist richtig, wenn h immer positiv für dich ist, sonst immer 3+h mal h pos (von rechts) mal h negativ (von links.
Gruss leduart
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> das ist richtig, wenn h immer positiv für dich ist,
Bei mir beginnt's sich's im Kopf zu drehen, wie immer, wenn zuviel rechts und links vorkommt.
Trotzdem: es ist doch genau umgekehrt, wie itse sagt.
Wenn sie sich von rechts, von oben, der 3 nähert, muß sie doch 3+h betrachten mit [mm] h\to [/mm] 0.
Und wenn sie von unten kommt, von links, 3-h mit [mm] h\to [/mm] 0.
Sag, daß das wahr ist...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Mi 26.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Angela!
Um Dich zu beruhigen und das Drehen im Kopf ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]") zu stoppen ... ich sehe das genauso wie Du!
Gruß
Loddar
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