Betrag von Matrix - Berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Do 18.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo allerseits,
Ich hab jetzt Seiten lang von Normen (Beträgen) von Matrixen gelsen. Das Problem ist, dass es immer so allgemein steht mit dem hier:
[mm] sup\{ \parallel A \parallel \} [/mm] - das gibt es dann in verschiedenen Arten - mal einfach so, mal mit unten noch einem Art Index wie [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = 1
...oder auch mal so:
[mm] sup\{ \parallel A*x \parallel \} [/mm]
Was ich dazu sagen kann? Ich weiss, dass es mich verwirrt. Alles was ich wissen will ist wie man konkret die Norm einer Matrix berechnet (Maximumnorm und die 2-Norm)?
Ich habe nämlich kein konkretes Beispiel. Was ich noch weiss ist, dass orthogonale Matrixen den Betrag 1 haben - das ist mir ja noch einleutend. Was ich noch weiss ist, dass die 2-Norm dem grössten Singulärwert entspricht. Aber gibt es keine schnellere Möglichkeit die Norm zu berechnen anstelle jedes mal Singulärwerte zu berechnen?
Was ich an der Normsache gar nicht mag ist, dass ich es mir irgendwie nicht vorstellen kann, dass eine Norm einer Matrix Sinn macht. Dass die 2-Norm einer Matrix gem grössten Singulärwert entspricht ist doch irgendwie lächerlich, denn die anderen Singulärwerte sind ja auch noch da. Sinn würde doch zum Beispiel machen, dass man sagt der Durchschnitt der Singulärwerte ist die Norm, oder sowas...?
Wie auch immer...ich kann es ja nicht ändern...aber ein konkretes Beispiel wäre toll wo man den Betrag einer einfach Matrix berechnet...?
DankE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Fr 19.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Also Matrixnormen sind eigentlich nur ein Spezialfall der sog. Operatornorm. Wenn man eine lineare Abbildung [mm] $A:V\to [/mm] W$ zwischen zwei Vektorräumen mit Norm [mm] $\|\cdot\|_1$ [/mm] bzw. [mm] $\|\cdot\|_2$ [/mm] hat, dann möchte man gern (möglichst gute) Abschätzungen der Form [mm] $$\|Ax\|_2\le C\|x\|_1\qquad\forall x\in [/mm] V$$ haben. So eine Zahl C existiert genau dann, wenn A stetig ist. Wenn V unendlich-dimensional ist, dann muss es eine solche Zahl C nicht unbedingt geben, man definiert deshalb den Raum der beschränkten linearen Operatoren [mm] $$\mathcal{L}(V,W):=\{A:V\to W\mid A\text{ linear, }\exists C>0:\forall x\in V:\|Ax\|_2\le C\|x\|_1\}$$ [/mm] und definiert auf dieser Menge eine Norm durch [mm] $\|A\|$:=\inf\{C>0|\forall x\in V:\|Ax\|_2\le C\|x\|_1\}$. [/mm] Diese Definition hängt natürlich von den Normen [mm] $\|\cdot\|_1$ [/mm] und [mm] $\|\cdot\|_2$ [/mm] ab. Nun kann man zeigen, dass gilt [mm] $$\|A\|=\sup_{\|x\|_1\le 1}\|Ax\|_2=\sup_{\|x\|_1=1}\|Ax\|_2=\sup_{x\in X}\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_1}.$$ [/mm] Die Matrixnorm ist nun nichts weiter als die Operatornorm der durch die Matrix repräsentierten linearen Abbildung. Es gibt kein allgemeines Kochrezept wie man die Operatornorm berechnet, in vielen Fällen kann man die auch gar nicht ausrechnen, man weiß eben nur, dass sie existiert und oft kann man sie nach oben abschätzen.
Die Operatornorm misst, wie stark eine lineare Abbildung die Länge von Vektoren "schlimmstenfalls" streckt. Zum Beispiel will man in der Numerik wissen, wie Stark sich Fehler in den Eingabedaten $b$ auf die Lösung eines lin. Gleichungssystems (oder allgemeiner einer Operatorgleichung) $Ax=b$ auswirken, da man ja in der Praxis den Vektor $b$ durch irgendwelche Meßwerte gegeben hat, die man aber nur bis auf eine gewisse Ungenauigkeit kennt. In diesem Falle muss man also [mm] $\|A^{-1}\|$ [/mm] berechnen - falls das überhaupt existiert:
Mit diesem Hintergrund kannst du dir vielleicht einige Fragen, die jetzt noch offen sind, selbst beantworten. Oder stell einfach nochmal Fragen wenn du nicht weiter kommst.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Fr 19.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hey,
Die Operatornorm ist also mehr ein Werkzeug für die Numerik um einfach in etwa zu sehen ob da was stark verzogen wird oder so.
Das waren klare Auskünfte... Danke vielmals!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Fr 19.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> Die Operatornorm ist also mehr ein Werkzeug für die
> Numerik um einfach in etwa zu sehen ob da was stark
> verzogen wird oder so.
Es ist schon wesentlich mehr als das. Hör dir ne Vorlesung über Funktionalanalysis an. Eine Sache noch, ich habe geschrieben dass Matrixnormen ein Spezialfall der Operatornormen sind, aber das ist falsch. Eine Matrixnorm ist einfach eine Norm auf dem Raum der Matrizen, aber die wird i.A. nicht von einer Operatornorm induziert. Dazu müsste nämlich die Matrixnorm in jedem Falle invariant unter Basiswechseln sein, was aber nicht immer gegeben sein wird. Notwendig dafür, dass die Matrixnorm von einer Operatornorm abstammt, ist auch Submultiplikativität, d.h. es muss gelten [mm] $\|AB\|\le\|A\|\cdot\|B\|$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Fr 19.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke nochmals. Ja den Fehler hät ich dann auch mal bemerkt, wenn ich mich schon mehr in die Theorie eingelesen hätte. Das was du mir zur Theorie gesagt hast hat ich auch auf dem Papier, nur eben irgendwie
ists mir noch nicht so vertraut mit den Normen. Eine Vorlesung zu Funktionalanalysis werd ich mir mal vorläufig nicht anhören, da ich doch
momentan genug zu tun hab; ).
Was ich aber sehr interessant und wichtig finde ist, dass ein Basiswechsel nicht unbedingt heisst, dass die Norm gleich bleibt!
Und falls [mm] \parallel [/mm] x' [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] A*x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] so ist die Matrix orthogonal bzw. längentreu. Das heisst auch, dass das Skalarprodukt erhalten bleibt.
Es ging mir einfach bei der Frage vorallem ums Geometrische bzw. eigentlich um die vorstellebare Interpretation - aber ich weiss ja jetzt, dass das relativ schwierig (ich will nicht sagen unklar, da ja alles in der Mathe klar und logisch ist) ist.
Jetzt ist mir doch noch ne Frage eingefallen:
Die Determinante einer Matrix hat keinen direkten Zusammenhang mit der 2-Norm? Oder doch? Die Determinante gibt ja das "Volumen" von einem von linear unabhängigen Vektoren aufgespannten Körper. Hat also zumindest einen indirekten Zusammenhang, nicht? Könnte mir vorstellen, dass Determinante und Norm korrelieren?
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 So 21.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich stell das obige mal als Frage, weil es mich doch wunder nimmt, ob Determinante und Betrag/Norm korrelieren?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 So 21.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich stell das obige mal als Frage, weil es mich doch wunder
> nimmt, ob Determinante und Betrag/Norm korrelieren?
Ich kann mir vorstellen, dass es Zusammenhänge gibt, dass man wohlmöglich den Betrag der Determinante nach oben abschätzen kann durch die Norm. Aber ein zu großer Zusammenhang würde ich nicht erwarten - die Determinante ergibt die Volumenänderung des Würfels an, während die Norm eher einen extremalen Puntk misst (und somit kann man vielleicht einen Beweis führen).
Ein negatives Resulta jedenfalls: [m]\pmat{ a & 0 \\ 0 & \bruch{1}{a^2} }[/m] hat Determinante 1/a, aber die Norm ist mindstens a.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 So 21.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Jo danke...ich seh schon, das ist nicht so eine triviale Frage...
Ich werd mal ein bisschen mit Beispielen spielen.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:49 Mo 22.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Ich stell das obige mal als Frage, weil es mich doch wunder
> > nimmt, ob Determinante und Betrag/Norm korrelieren?
>
> Ich kann mir vorstellen, dass es Zusammenhänge gibt, dass
> man wohlmöglich den Betrag der Determinante nach oben
> abschätzen kann durch die Norm.
Es gibt da den ![[]](/images/popup.gif) Spektralradius (Spektralnorm) [mm] $\sigma(A) [/mm] = [mm] \max\{ |\lambda| \mid \lambda \in \IC \text{ Eigenwert von } A \}$. [/mm] Ist nun [mm] $\|\bullet\|$ [/mm] irgendeine submultiplikative Norm auf [mm] $\IR^{n \times n}$, [/mm] so gilt [mm] $\sigma(A) \le \|A\|$ [/mm] fuer alle $A [mm] \in \IR^{n \times n}$; [/mm] insbesondere ist [mm] $\sigma(A)$ [/mm] gleich der Matrixnorm, die durch die euklidische Norm [mm] $\|\bullet\|_2$ [/mm] auf [mm] $\IR^n$ [/mm] induziert wird (es gilt also [mm] $\sigma(A) [/mm] = [mm] \sup_{\|v\|_2 = 1} \|A v\|_2$); [/mm] siehe hier.
Sei jetzt $A$ eine Matrix und $f(x) = [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] \lambda_i)$ [/mm] das charakteristische Polynom von $A$, mit [mm] $\lambda_i \in \IC$. [/mm] Dann ist [mm] $\det [/mm] A = [mm] \prod_{i=1}^n \lambda_i$, [/mm] womit gilt [mm] $|\det [/mm] A| = [mm] \prod_{i=1}^n |\lambda_i| \le (\sup |\lambda_i|)^n [/mm] = [mm] \sigma(A)^n \le \|A\|^n$.
[/mm]
Die Determinante kann also durch jede submultiplikative Matrixnorm abgeschaetzt werden.
Damit kann man sich sehr leicht ganz viele Gegenbeispiele konstruieren (etwa indem man diagonalisierte Matrizen hinschreibt), bei denen Norm und Determinante stark voneinander abweichen (in beide Richtungen!).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Di 23.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
...Thanks...
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