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| Aufgabe | Wie bestimme ich bei der folgenden komplexen zahl den betrag und die phase
[mm] z=\bruch{i*ab}{i*ab+c} [/mm] mit a,b,c [mm] \in \IR [/mm] |
wäre der betrag nicht einfach betrag des zählers geteilt durch betrag des nenners?
also:
[mm] |z|=\bruch{ab}{\wurzel{(ab)^2+c}}
[/mm]
der winkel wäre dann [mm] \phi=\bruch{\pi}{2}-arctan(\bruch{ab}{c})
[/mm]
wäre das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Fr 22.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie bestimme ich bei der folgenden komplexen zahl den
> betrag und die phase
>
> [mm]z=\bruch{i*ab}{i*ab+c}[/mm] mit a,b,c [mm]\in \IR[/mm]
> wäre der betrag
> nicht einfach betrag des zählers geteilt durch betrag des
> nenners?
ja, es gilt für $w,z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $z [mm] \not=0$
[/mm]
[mm] $|w/z|=|w|/|z|\,.$
[/mm]
Das kann man leicht nachrechnen.
> also:
>
> [mm]|z|=\bruch{ab}{\wurzel{(ab)^2+c}}[/mm]
Nein: [mm] $|iab|=|ab|\,$ [/mm] und
[mm] $|i*ab+c|=\sqrt{(ab)^2+c^{\red{2}}}\,.$
[/mm]
> der winkel wäre dann
> [mm]\phi=\bruch{\pi}{2}-arctan(\bruch{ab}{c})[/mm]
Wie kommst Du darauf?
> wäre das so richtig?
Für den Winkel zu bestimmen hilft folgende Umformung:
[mm] $\frac{i*ab}{i*ab+c}=\frac{(i*ab)*(-i*ab+c)}{c^2-(i*ab)^2}=\frac{a^2b^2+i*abc}{a^2b^2+c^2}\,.$
[/mm]
Und beachte: Für [mm] $z=x+iy\,$ [/mm] ($x,y [mm] \in \IR$) [/mm] gilt
[mm] $z=|z|*e^{i\phi}$
[/mm]
nicht automatisch mit [mm] $\phi=\arctan{(y/x)}\,.$ [/mm] Die Vorzeichen von [mm] $\sin(\phi)$ [/mm] und
[mm] $\cos(\phi)$ [/mm] müssen auch zu denen von [mm] $y\,$ [/mm] bzw. von [mm] $x\,$ [/mm] passen.
Beispiel: [mm] $z=-1+1*i\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $\arctan(-1)=-\pi/4\,.$
[/mm]
Aber
[mm] $\cos(-\pi/4)=1/\sqrt{2}$
[/mm]
ist nicht
[mm] $=-1/\sqrt{2}=\text{Re}(-1+1*i)/|-1+1*i|\,.$
[/mm]
Deswegen müsste man hier
[mm] $\phi=\arctan(1/(-1))\;+\pi=\frac{3}{4}\pi$
[/mm]
benutzen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Sa 23.08.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
@arbeitsamt:
> > der winkel wäre dann
> > [mm]\phi=\bruch{\pi}{2}-arctan(\bruch{ab}{c})[/mm]
>
> Wie kommst Du darauf?
rmix22 hat es ja nun erklärt, daher brauchst Du die Frage nicht mehr
beantworten. ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Fr 22.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Wie bestimme ich bei der folgenden komplexen zahl den
> betrag und die phase
>
> [mm]z=\bruch{i*ab}{i*ab+c}[/mm] mit a,b,c [mm]\in \IR[/mm]
> wäre der betrag
> nicht einfach betrag des zählers geteilt durch betrag des
> nenners?
>
> also:
>
> [mm]|z|=\bruch{ab}{\wurzel{(ab)^2+c}}[/mm]
Auf das fehlende Quadrat bei c hat dich Marcel ja schon aufmerksam gemacht. Nehme an, es ist ein Tippfehler - grundsätzlich passt das.
>
> der winkel wäre dann
> [mm]\phi=\bruch{\pi}{2}-arctan(\bruch{ab}{c})[/mm]
>
> wäre das so richtig?
Nicht ganz! Du kannst natürlich, so wie es Marcel vorgeschlagen hat, mit dem konjugiert Komplexen des Nenners erweitern, aber du musst nicht.
Deine Überlegung ist grundsätzlich richtig, denn es gilt natürlich
[mm] $arg\left(\br{\underline{z}_1}{\underline{z}_2}\right)=arg(\underline{z}_1)-arg(\underline{z}_2)$
[/mm]
Sofern $a$ und $b$ ungleich Null sind ist die Phase des Zählers auch tatsächlich [mm] \pi/2, [/mm] aber die Phase des Nenners ist nur dann [mm] $arctan(\bruch{ab}{c})$ [/mm] wenn $a*b>0$ ist. Ist $a*b<0$ ist noch [mm] \pi [/mm] zu addieren (oder subtrahieren) und für $a*b=0$ ist die Phase vom Endergebnis ohnedies unbestimmt.
Gruß RMix
EDIT: Für deinen speziellen Ausdruck würde sich auch die Verwendung von
[mm] $|\underline{z}|=\br{1}{\left|{\br{1}{\underline{z}}}\right|}$
[/mm]
und
[mm] $arg(\underline{z})=-arg(\br{1}{\underline{z}})$
[/mm]
anbieten, da
[mm] $\br{1}{\underline{z}}=1-\br{c}{a*b}*j$
[/mm]
recht einfach ist und sich davon Betrag und Phase bequem errechnen lassen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mo 25.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Schon wieder muss ich meinen Senf dazugeben.
Warum der Aufgabensteller $ [mm] z=\bruch{i\cdot{}ab}{i\cdot{}ab+c} [/mm] $ schreibt, ist mir schleierhaft.
$z$ ist von der Form
$ [mm] z=\bruch{iy}{x+iy} [/mm] $ mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] und $w:=x+iy [mm] \ne [/mm] 0$.
Die Frage nach $|z|$ ist geklärt.
Fall 1: $y=0$. Dann ist $z=0$ und $z$ hat kein Argument.
Fall 2: $y>0$. Sei [mm] \phi [/mm] ein Argument von $w$, also [mm] $w=|w|*e^{i \phi}$.
[/mm]
Wegen [mm] $i=e^{i *\bruch{\pi}{2}}$ [/mm] ist
[mm] $z=\bruch{y}{|w|}e^{i(\bruch{\pi}{2}-\phi)}$.
[/mm]
Ein Argument von $z$ ist also: $ [mm] \bruch{\pi}{2}-\phi$
[/mm]
Fall 3: $y<0$. Dazu mach Du Dir nun mal ein paar Gedanken.
FRED
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