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| Aufgabe | Für welche a,b,c [mm] \IR [/mm] ist die Abbildung f : [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto ax^2+bx+c [/mm] injektiv
bzw. surjektiv? Geben Sie im Fall, dass f bijektiv ist, die Umkehrabbildung
[mm] f^{-1} [/mm] an. |
Hallo, leider weiß ich bei der Aufgabe nicht wirklich, wie ich Anfangen soll mein Blatt zu füllen. (1. Semester Mathe Lehramt ^^)
Muss ich in einer solchen Aufgabenstellung beweisen?
Wie gehe ich am besten an solch eine Aufgabe?
Meine Überlegung:
Durch Fallunterscheidung?!
Was ich weiß
wenn a=0, c=0 und b=1 hab ich die identische Abbildung und bin bijektiv
wenn c<>0 werde ich def keine surjektivität erhalten da, wenn y=ax²+bx+c niemals y=ax²+bx sein kann
Wenn a<>0, b=0 und c beliebig wird die Aussage auch nie injektiv oder surjektiv sein (außer c wäre x+1 aber ich weiß nicht, ob c variabel sein darf und gehe gerade nicht davon aus)
jetzt gibt es ja schon ein paar fälle und die Fallunterscheidung wäre auf dauer schon irgendwie lästig. welche Möglichkeiten gibt es also, an solch eine aufgabe zu gehen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=431140
Danke schon jetzt für eure Hilfe
Grüße
Kai
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Zu aller erst zu deinem c=x+1: Du hast recht, c darf in so einem Fall nicht variabel sein.
Dann zur Hauptfrage:
Ich würde das ganze an deiner Stelle grafisch angehen.
Je nachdem wie deine a,b,c gewählt werden erhälst du entweder eine Parabel, eine Gerade (mit Steigung [mm]\ne[/mm] 0) oder eine Parallele zur x-Achse.
Nun musst du nur noch die a,b,c auf diese drei Fälle aufteilen und dir angucken ob Surjektivität und Bijektivität dafür gelten oder nicht.
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Aber kann ich nicht von vorn herein sagen, dass
- eine Parabel nie surjektiv und oder injektiv ist solange wir uns in [mm] \IR [/mm] Bewegen
- eine Gerade Parallel zur X-Achse immer injektiv aber nie surjektiv ist (solange wir uns in [mm] \IR [/mm] Bewegen)
- jede Gerade mit Steigung [mm] \not=0 [/mm] bijektiv ist (solange wir uns in [mm] \IR [/mm] Bewegen)
Überlege halt, wie ich für diese Aufgabe 12 Punkte bekommen soll.
Ich könnte ja auch jeweils ein Beweis machen für eine Gerade mit Steigung [mm] \not=0, [/mm] eine Parabel und eine Gerade mit Steigung 0
aber kann ich z.B. a einfach mit 0 definieren ohne dabei einfach ein Beispiel statt eines Verweises zu zeigen?
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edit: eine Parallele zur x-Achse ist ebenfalls weder injektiv noch surjektiv, da nur ein Wert getroffen wird, das aber unendlich oft...
ich überarbeite meinen Post mal kurz dahingehend^^
Doch, genau das kannst du sagen.
Du kannst vielleicht, wenn es dir wichtig ist, noch kurz zeigen, dass für a [mm] $\ne$ [/mm] 0 auch wirklich immer eine Parabel entsteht, egal welche Werte b und c annehmen. (selbiges für die Gerade egal welchen Wert c annimmt)
Aber auch das geht recht schnell.
Das die Parabel nie surjektiv oder bijektiv ist könntest du noch kurz allgemein beweisen .
Das gleiche machst du, wenn du ganz sicher gehen willst und genug Zeit hast, auch nochmal für die Parallele zur x-Achse.
Dass die Gerade mit Steigung [mm] $\ne$ [/mm] 0 bijektiv ist beweist du ja praktisch, indem du die Umkehrfunktion eindeutig bestimmst.
Auch hier könntest du noch mehr schreiben, musst du aber meiner Meinung nach nicht.
Auf Grund der Aufgabenstellung würde ich sagen reicht es vollkommen zu sagen:
ist a = 0 und b [mm] $\ne$ [/mm] 0 so ist die Funktion bijektiv und hat folgende Umkehrfunktion (Umkehrfunktion in allgemeiner Form angeben).
In allen anderen Fällen ist die Funktion weder injektiv noch surjektiv.
Allerdings hast du recht, 12 Punkte ist schon ganz schön viel für so eine kleine Aufgabe. (es sei denn du hast insgesamt 500 Punkte für Aufgaben, die du alle zusammen innerhalb einer Stunde hinkriegst^^)
Was genau du jetzt machst ist dir überlassen; ich an deiner Stelle würde einmal kurz nachfragen wie ausführlich die Antwort sein soll und ob du etwas beweisen sollst.
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> Für welche a,b,c [mm]\IR[/mm] ist die Abbildung f : [mm]\IR \to \IR,[/mm] x
> [mm]\mapsto ax^2+bx+c[/mm] injektiv
> bzw. surjektiv? Geben Sie im Fall, dass f bijektiv ist,
> die Umkehrabbildung
> [mm]f^{-1}[/mm] an.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es wurde zuvor schon festgestellt, daß man je nach Wahl von a, b,c eine Parallele zur x-Achse, eine andere Gerade oder eine Parabel bekommt,
und es ist auch anschaulich klar, daß als Abbildung aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] betrachtet die Parabeln weder injektiv noch surjektiv sind,
die Geraden mit Steigung [mm] \not=0 [/mm] injektiv und surjektiv, die Parallen zu x-Achse weder injektiv noch surjektiv.
Es reicht jedoch nicht, dies festzustellen.
Du mußt diese Festsetllungen, welche zunächst lediglich Behauptungen sind, beweisen - sonst gewinnt man in den HÜs keinen Blumentopf.
Mach also drei Fallunterscheidungen nach
[mm] a\not=0
[/mm]
a=0 und [mm] b\not=0
[/mm]
a=b=0,
stelle für diese Deine Behauptungen klar und deutlich auf und beweise sie dann.
Willst Du Injektivität widerlegen, so gibt zwei verschiedene [mm] x_1, x_2 [/mm] an, welche denselben Funktionswert haben.
Willst Du Surjektivität widerlegen, so gibt ein [mm] y\in \IR [/mm] an, auf welches kein Element abgebildet wird. (Daß kein Element darauf abgebildet wird, mußt Du überzeugend darlegen)
Es reicht im Falle der Bijektivität nicht, die Umkehrfunktion einfach anzugeben - Du mußt zeigen, daß die von Dir als Umkehrfunktion ins Rennen gebrachte Funktion alles tut, was man von einer Umkehrfunktion erwartet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Do 28.10.2010 | | Autor: | LoBi83 |
Die theoretischen Überlegungen sind mir klar.
Ich weiss leider nur nicht wie ich argumentieren kann.
Darf ich z.B. benutzen das ich für ein quadratisches Polynom ein Minimum ausrechnen kann ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Do 28.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die theoretischen Überlegungen sind mir klar.
> Ich weiss leider nur nicht wie ich argumentieren kann.
> Darf ich z.B. benutzen das ich für ein quadratisches
> Polynom ein Minimum ausrechnen kann ?
Wenn es eines hat, ja.
Nun überleg doch mal:
Sei $ f(x)= [mm] ax^2+bx+c [/mm] $
Ist a>0 , so ist der Graph von f eine nach oben geöffnete Parabel. Kann f dann surjetiv sein ? nein ! Warum ? Jetzt kannst Du mit "Minimum argumentieren. Ist [mm] (x_0|y_0) [/mm] der Scheitel der Parabel, so berechne mal [mm] f(x_0+1) [/mm] und [mm] f(x_0-1). [/mm] Ist f injektiv ?
So nun behandle Du mal den Fall a<0
Ist a=0, so ist f(x)=bx+c
Unterscheide die Fälle b=0 und b [mm] \ne [/mm] 0
FRED
Ist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Do 28.10.2010 | | Autor: | LoBi83 |
für b=0 gilt f(x)=c
das heisst für [mm] x1\not=x2 [/mm] gilt f(x1)=f(x2)=c, also nicht injektiv
nicht surjektiv weil für ein [mm] r\not=c [/mm] aus [mm] \IR [/mm] kein x existiert.
für [mm] b\not=0 [/mm] müsste doch eigentlich reichen wenn ich zeige: das die hintereinander ausführung von f und [mm] f^{-1} [/mm] wieder x ergibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Do 28.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> für b=0 gilt f(x)=c
> das heisst für [mm]x1\not=x2[/mm] gilt f(x1)=f(x2)=c, also nicht
> injektiv
Ja
> nicht surjektiv weil für ein [mm]r\not=c[/mm] aus [mm]\IR[/mm] kein x
> existiert
................ mit f(x)=r .....
Jo
>
> für [mm]b\not=0[/mm] müsste doch eigentlich reichen wenn ich
> zeige: das die hintereinander ausführung von f und [mm]f^{-1}[/mm]
> wieder x ergibt?
Um von [mm]f^{-1}[/mm] überhaupt zu reden, mußt Du doch schon wissen, dass f bijektiv ist !!
Wir wollen doch erst zeigen, dass f bijektiv ist, wenn f die Gestalt f(x)=bx+c hat mit b [mm] \ne [/mm] 0.
Ist das denn so schwer: zeige geradeheraus durch simples Rechnen, dass gilt:
[mm] $bx_1+c=bx_2+c$ \Rightarrow x_1=x_2
[/mm]
und
für jedes z [mm] \in \IR [/mm] hat die Gleichung
bx+c=z
eine Lösung x.
Du kannst die Bijektivität auch in einem Aufwasch zeigen:
Zeige: für jedes z [mm] \in \IR [/mm] hat die Gleichung
bx+c=z
genau eine Lösung x.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Do 28.10.2010 | | Autor: | LoBi83 |
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