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| Aufgabe | Ermitteln Sie die Gleichungen der Kugeln, die die folgenden drei Bedingungen zugleich erfüllen:
- die Mitteplunkte liegen auf der Geraden g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 0} [/mm] + s* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1},
[/mm]
- der Radius beträgt 3 LE und
- die Ebene E: [mm] x_{1} [/mm] - 2 [mm] x_{2} [/mm] + 2 [mm] x_{3} [/mm] = 2 ist Tangentialebene. |
Hallo!
Ich habe bisher mehrere Ansätze, aber keine endgültige Lösung. Und zwar dachte ich mir, dass sich aus der Geraden g der Mittelpunkt M der Kugeln mit ( 2 + s | 3 | s ) ergibt.
So ergäbe sich schonmal die Kugelgleichung für die ersten beiden Bedingungen:
K: [mm] (x_{1} [/mm] - (2 + s))² + [mm] (x_{2} [/mm] - 3)² + [mm] (x_{3} [/mm] - s)² = 9
Jetzt fehlt allerdings noch die 3. Bedingung.
Wenn jetzt E aber die Tangentialebene ist, bedeutet das = 2 dann nicht, dass der Radius der Kugel [mm] \wurzel{2} [/mm] ist und dass der Mittelpunkt bei (0 | 0 | 0) ist und der Berührpunkt der Tangentialebene zur Kugel bei B (1 | -2 | 2) ist. Das ist zumindest das, was ich der Tangentialebenengleichung aus meinem Tafelwerk entnehmen könnte.
Ich weiß leider gar nicht, wie das vereinbar ist mit den ersten zwei Bedingungen.
Ich hab auch mit dem Normalenvektor von E und dem oben zuerst genannten M eine Gleichung aufgestellt, die dann in die Ebenengleichung eingesetzt und später einen allgemeinen Fußlotpunkt auf g herausbekommen, das bringt mir ja aber wiederum auch nichts.
Ich bitte um Hilfe.
Liebe Grüße
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Hallo rotschiputschi!
Gehe andersrum an die Sache heran. Es gibt zwei Ebenen, welche den Abstand $r \ = \ 3$ zur gegebenen Ebene $E_$ haben.
Der jeweilige Schnittpunkt dieser beiden Ebenen mit der genannten Gerade liefert Dir die beiden möglichen Kugelmittelpunkte.
Gruß vom
Roadrunner
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Erstmal danke für die schnelle Antwort. Ich habe es jetzt noch einmal so versucht, bin leider immer noch nicht weitergekommen.
Mein Problem ist, dass mir die jeweiligen Berührpunkte der Ebene zu den Kugeln fehlen. Der Durchstoßpunkt der Geraden durch E bringt mir ja leider nichts.
Wenn ich diese Punkte hätte, würde ich den Normalenvektor von E mit dem Normaleneinheitsvektor und [mm] \pm [/mm] 3 multiplizieren. Dann hätte ich doch zwei Mittelpunkte, oder?
Und wie komme ich auf die Berührpunkte?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mi 11.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Erstmal danke für die schnelle Antwort. Ich habe es jetzt
> noch einmal so versucht, bin leider immer noch nicht
> weitergekommen.
> Mein Problem ist, dass mir die jeweiligen Berührpunkte der
> Ebene zu den Kugeln fehlen. Der Durchstoßpunkt der Geraden
> durch E bringt mir ja leider nichts.
> Wenn ich diese Punkte hätte, würde ich den Normalenvektor
> von E mit dem Normaleneinheitsvektor und [mm]\pm[/mm] 3
> multiplizieren. Dann hätte ich doch zwei Mittelpunkte,
> oder?
> Und wie komme ich auf die Berührpunkte?
> Lg
Hallo,
wenn der Radius die Länge 3 hat, dann liegt der Kugelmittelpunkt in einer Parallelebene zur Tangentialebene mit dem Abstand 3.
Diese Parallelebene bringst du zum Schnitt mit der Geraden, auf der der Mittelpunkt liegen soll.
Gruß Abakus
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So, ich habe mich noch einmal hingesetzt und kam jetzt auf folgendes Ergebnis. Die Mittelpunkte der zwei möglichen Kugelgleichungen sind:
[mm] M_{1} [/mm] ( 7 | 3 | 5 )
[mm] M_{2} [/mm] ( 2 | 3 | -1 )
Ich habe das überprüft indem ich geguckt habe, ob die Punkte auf g liegen, was sie tun. Dann habe ich von der einen Kugel den Berührpunkt zur Tangentialebene bestimmt [mm] B_{1} [/mm] ( 6 | 5 | 3 ) und den Abstand von B zu M berechnet, der ist glücklicherweise 3.
Ich weiß bloß nicht, wie ich überprüfen kann, ob die Tangentialebene auch Tangentialebene ist, oder mache ich das, indem ich schaue, wieviele Schnittpunkte die Tangentialebene mit [mm] K_{1} [/mm] und [mm] K_{2} [/mm] hat? Als Tangentialebene wäre das ja nur jeweils ein Schnittpunkt.
Ich hoffe, ich habe da jetzt keinen Fehler mehr drin.
Eine letzte Anmerkung: Ich kam schon früher auf oben genannte Mittelpunkte (deswegen bin ich auch noch etwas zweifelnd) und zwar habe ich 'damals' den Fußlotpunkt F ( 4 | 3 | 2 ) als neuen Stützvektor der Geraden g genommen mit gleichbleibendem Richtungsvektor. Wenn man dann für s [mm] \pm [/mm] 3 einsetzt, erhält man die gleichen Mittelpunkte. Ist das auch legitim oder Zufall?
Liebe Grüße und herzlichen Dank bisher!
rotschiputschi
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> Ich weiß bloß nicht, wie ich überprüfen kann, ob die
> Tangentialebene auch Tangentialebene ist.
In der Aufgabe steht zwar nichts davon, dass auch
die Beruhrungspunkte der Kugeln mit der Ebene
gesucht seien. Effektiv wäre dies aber eine ganz
sinnvolle Zusatzaufgabe.
Um diese Berührungspunkte zu finden, musst du
von den beiden Kugelmittelpunkten aus jeweils
das Lot auf die Ebene fällen und dessen Fusspunkt
bestimmen. Die Länge der Lote sollte dann mit den
Kugelradien übereinstimmen.
LG
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Ganz blöd:
Ist das nicht das, was ich gemacht habe?
Gruß
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> Ganz blöd:
> Ist das nicht das, was ich gemacht habe?
> Gruß
Deine Rechnungen habe ich nicht überprüft.
Falls du den Berührungspunkt wirklich so
bestimmt hast, dass du vom Kugelmittelpunkt
das Lot auf die Ebene gefällt hast, dann war
es dasselbe. Eine solche Rechnung habe ich
aber nirgends gesehen.
Natürlich kannst du die Tangentialeigenschaft
auch nachweisen, indem du zeigst, dass das
GLS aus Kugel- und Ebenengleichung durch
genau einen Punkt erfüllt wird. Das ist aber
rechnerisch eher etwas mühsam.
LG
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